Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán 9 Chân trời sáng tạo

1. Phương trình tích

Phương trình tích là phương trình có dạng $\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0$.

Cách giải phương trình tích

Ví dụ: Giải phương trình $\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$

Lời giải:

Ta có: $\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$

$2x + 1 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$.

$2x =  - 1$ hoặc $3x = 1$

$x =  - \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x =  - \frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{3}$.

Các bước giải phương trình:

Ví dụ: Giải phương trình ${x^2} - x =  - 2x + 2$.

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

$\begin{array}{l}{x^2} - x =  - 2x + 2\\{x^2} - x + 2x - 2 = 0\\x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0.\end{array}$

$x + 2 = 0$ hoặc $x - 1 = 0$.

$x =  - 2$ hoặc $x = 1$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x =  - 2$ và $x = 1$.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ:

- Phương trình $\frac{{5x + 2}}{{x - 1}} = 0$ có điều kiện xác định là $x \ne 1$ vì $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$.

- Phương trình $\frac{1}{{x + 1}} = 1 + \frac{1}{{x - 2}}$ có điều kiện xác định là $x \ne  - 1$ và $x \ne 2$ vì $x + 1 \ne 0$ khi $x \ne  - 1$, $x - 2 \ne 0$ khi $x \ne 2$.

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Giải phương trình $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Lời giải:

Điều kiện xác định $x \ne  - 1$ và $x \ne 2$.

Ta có: $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$\frac{{2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3$

$\begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\\2x - 4 + x + 1 = 3\\3x - 3 = 3\\3x = 6\\x = 2\end{array}$

Giá trị $x = 2$ không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình $\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$ vô nghiệm.