Giải bài 9.14 trang 60 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết y là hàm số của x thoả mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Lời giải chi tiết

Tại x = 0, thay vào phương trình ta được:

$1 + \ln y = 0 \Leftrightarrow y = {{\rm{e}}^{ - 1}} = \frac{1}{{\rm{e}}}$.

Đạo hàm hai vế phương trình, ta có:

$\left( {xy} \right)' = \left( {1 + \ln y} \right)' \Leftrightarrow x'y + xy' = 1' + \left( {\ln y} \right)'$

$\Leftrightarrow y + xy' = \frac{{y'}}{y} \Leftrightarrow y = \frac{{y'}}{y} - xy' \Leftrightarrow y = y'\left( {\frac{1}{y} - x} \right)$

$\Leftrightarrow y = y'\left( {\frac{1}{y} - x} \right) \Leftrightarrow y = y'\left( {\frac{{1 - xy}}{y}} \right)$

$\Leftrightarrow {y^2} = y'\left( {1 - xy} \right) \Leftrightarrow y' = \frac{{{y^2}}}{{1 - xy}}$.

Vậy $y'(0) = \frac{{{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^2}}}{{1 - 0.\frac{1}{e}}} = \frac{1}{{{e^2}}}$.