Giải bài 9 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

a) Cho $\tan \alpha  + \cot \alpha  = 2$. Tính giá của trị biểu thức ${\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha$.

b) Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{4}$. Tính giá của trị biểu thức $\sin \alpha .\cos \alpha$.

c) Cho $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{2}$. Tính giá của trị biểu thức ${\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha$. 

Lời giải chi tiết

a) ${\tan ^3}\alpha  + {\cot ^3}\alpha$ $= {\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)^3} - 3\tan \alpha \cot \alpha \left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)$

$= {\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)^3} - 3\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)$ $= {2^3} - 3.2$ $= 2$

b) $\sin \alpha  + \cos \alpha$ $= \frac{1}{4}$ $\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha$ $= \frac{1}{{16}}$ $\Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$ $= \frac{1}{{16}}$

$\Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha$ $= \frac{{ - 15}}{{32}}$

c) $\sin \alpha  + \cos \alpha$ $= \frac{1}{2}$ $\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha$ $= \frac{1}{4}$ $\Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$ $= \frac{1}{4}$

$\Rightarrow \sin \alpha .\cos \alpha$ $= \frac{{ - 3}}{8}$

${\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha$ $= {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha \cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)$

$= {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - 3.\frac{{ - 3}}{8}.\frac{1}{2}$ $= \frac{1}{8} + \frac{9}{{16}}$ $= \frac{{11}}{{16}}$