Giải bài 8 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}}$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{ - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0$;

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) =  - 2$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}$ nên không tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}$.