Giải bài 10 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3}$.

Lời giải chi tiết

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}$ $=  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{{x^3}}}$ $= 1 > 0$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]$ $=  - \infty$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x$ $=  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}$ $= \frac{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{x}}}{{3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}}$ $= \frac{1}{3} > 0$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]$ $=  + \infty$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right]$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right]$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - x} \right)$ $=  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}$ $= \sqrt {1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}}$ $= 1 > 0$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right]$ $=  + \infty$