Giải bài 7.44 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$có cạnh bằng$a$, côsin của góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$bằng

A. $\frac{1}{3}$.

B. $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

C. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải chi tiết

 Gọi $M$là trung điểmcủa $CD,O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$⇒$AO \bot (BCD)$

Khi đó $OB$là hình chiếu vuông góc của $AB$ lên $(BCD)$

$\Rightarrow (AB;(BCD)) = (AB;OB) = \widehat {ABO}$

Tam giác $BCD$ đều cạnh a nên $BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{{2BM}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Ta có $AO \bot (BCD)$ nên$AO \bot OB$, suy ra $\Delta ABO$vuông tại $O$.

⇒$cos\widehat {ABO} = \frac{{OB}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$

 Vậy $\cos (AB;(BCD)) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$