Giải bài 7.11 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm của tam giác $ABC$ và $SBC$. Chứng minh rằng:

a) $BC \bot \left( {SAH} \right)$ và các đường thẳng $AH,BC,SK$ đồng quy;

b) $SB \bot \left( {CHK} \right)$ và $HK \bot \left( {SBC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Chỉ ra  $BC \bot SA,BC \bot AH$ nên $BC \bot \left( {SAH} \right)$.

Gọi $M$ là giao điểm của $AH$ và $BC$$CH \bot AB$

Ta có: $BC \bot \left( {SAM} \right)$, suy ra $BC \bot SM$, mà $K$ là trực tâm của tam giác $SBC$ nên $SM$ đi qua $K$.

 Do đó, $SK,AH,BC$ đồng quy tại $M$.

b)

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $SA \bot CH$, mà , suy ra $CH \bot \left( {SAB} \right)$.

 Do đó $CH \bot SB$, lại có $SB \bot CK$ nên $SB \bot \left( {CHK} \right)$.

 

Từ đó ta có $SB \bot HK$, tương tự, ta chứng minh được $SC \bot \left( {BHK} \right)$, suy ra $SC \bot HK$. Do đó $HK \bot \left( {SBC} \right)$.