Giải bài 5 trang 31 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng $\left( { - \pi ;\pi } \right)$.

a) $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$;

b) $2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3$;

c) $\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}$.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$ $\Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow  - \pi  < \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3} < \pi$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$. Do đó, $x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{18}};\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}}} \right\}$.

b) $2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3$ $\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{3\pi }}{4} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)$ nên:

TH1: $- \pi  < \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi  < \pi$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 35}}{{24}} < k < \frac{{13}}{{24}}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0} \right\}$. Do đó, $x \in \left\{ {\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}$.

TH2: $- \pi  < \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi  < \pi$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 31}}{{24}} < k < \frac{{17}}{{24}}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0} \right\}$. Do đó, $x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}}} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}$.

c) $\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}$ $\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{9} = \frac{{4\pi }}{9} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Vì $x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow  - \pi  < \frac{\pi }{3} + k\pi  < \pi$ $\Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < k < \frac{2}{3}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ { - 1;0} \right\}$. Do đó, $x \in \left\{ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right\}$.