Giải bài 5 trang 122 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ với các mặt của hình chóp.

Lời giải chi tiết

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó, MN//BD.

Vì P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác SBD. Do đó, PR//BD.

Vì MN//BD, PR//BD nên MN//PR.

Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành mặt phẳng (MNPR).

Ta có: MN//BD, $MN \subset \left( {MNPR} \right)$, BD không nằm trong mặt phẳng (MNPR) nên BD//(MNPR).

Chứng minh tương tự ta có: SA//(MNPR).

Vì mặt phẳng (MNPR) đi qua M và song song với BD, SA nên (MNPR) là mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$.

Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và d//AB//CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q. Suy ra, mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là (MNPI).

Ta có: $MN \subset \left( {ABCD} \right),MN \subset \left( {MNPI} \right)$ nên $\left( {MNPI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$ hay $\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN$.

Tương tự ta có:

$\left( \alpha  \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP,\left( \alpha  \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ,\left( \alpha  \right) \cap \left( {SBC} \right) = QR,\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABS} \right) = MR$