Giải bài 4 trang 122 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP);

d) Gọi \({G_1}\) và \({G_2}\) theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh \({G_1}{G_2}\) song song với (SAD).

Lời giải chi tiết

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN//AD//BC.

Ta có: MN//BC, \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) và MN không nằm trong mặt phẳng (SBC) nên MN// (SBC).

Lại có: MN//AD, \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) và MN không nằm trong mặt phẳng (SAD) nên MN// (SAD).

b) Vì P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, PM//SB. Mà \(PM \subset \left( {MNP} \right)\), SB không nằm trong mặt phẳng (MNP) nên SB//(MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB), vẽ đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có: ES//AB, mà AB//CD nên ES//DC hay ES//NC (1)

Vì ES//MB, EM//SB nên tứ giác MBSE là hình bình hành, suy ra \(ES = MB\)

Mà \(MB = NC\) (vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và \(AB = DC\)), suy ra: \(ES = NC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ESCN là hình bình hành nên SC//NE.

Mà \(NE \subset \left( {MNP} \right)\), SC không nằm trong mặt phẳng (MNP) nên SC//(MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Vì \({G_1}\) và \({G_2}\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC nên \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{{I{G_2}}}{{IS}} = \frac{1}{3}\).

Tam giác SIA có: \(\frac{{I{G_1}}}{{IA}} = \frac{{I{G_2}}}{{IS}} = \frac{1}{3}\) nên \({G_1}{G_2}//SA\) (định lí Thalès đảo)

Mà \(SA \subset \left( {SAD} \right)\), \({G_1}{G_2}\) không nằm trong mặt phẳng (SAD) nên \({G_1}{G_2}//\left( {SAD} \right)\).