Giải bài 3 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = \left| {x + 1} \right|$ tại điểm $x =  - 1$;

b) $g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\;\;\;khi\;x \ne 1\\\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.$ tại điểm $x = 1$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm $- 1$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) =  - 1 + 1 = 0;$ $f\left( { - 1} \right) = \left| { - 1 + 1} \right| = 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left| {x + 1} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( { - x - 1} \right) = 1 - 1 = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 0$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x =  - 1$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm 1.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - 1} \right) =  - 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)$ nên hàm số g(x) không liên tục tại điểm $x = 1$.