Giải bài 2 trang 90 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau tại điểm $x = 2$:

a) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}6 - 2x\;\;\;khi\;x \ge 2\\2{x^2} - 6\;\;khi\;x < 2\end{array} \right.$;

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}\;\;\;khi\;x \ne 2\\\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;khi\;x = 2\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm 2.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {6 - 2x} \right) = 6 - 2.2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2{x^2} - 6} \right) = {2.2^2} - 6 = 2$, $f\left( 2 \right) = 6 - 2.2 = 2$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( x \right) = 2$ nên hàm số f(x) liên tục tại điểm $x = 2$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm 2.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 2 + 2 = 4$;

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \ne f\left( 2 \right)\left( {do\;4 \ne 0} \right)$ nên hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục tại điểm $x = 2$.