Giải bài 1.11 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho $\cos 2x =  - \frac{4}{5}$ với $\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}$

Tính $\sin x,\cos x,\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right),\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)$.

Lời giải chi tiết

Vì $\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin x > 0$, $\cos x > 0$. Áp dụng công thức hạ bậc ta có

${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{{1 +  - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \cos x = \frac{1}{{\sqrt {10} }}.$

${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{1 -  - \frac{4}{5}}}{2} = \frac{9}{{10}} \Rightarrow \sin x = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.$

Áp dụng công thức cộng ta có

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{3} + \cos x\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{2} + \frac{1}{{\sqrt {10} }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}.$

Lại có $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2.\frac{3}{{\sqrt {10} }}.\frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{6}{{10}}$.

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos 2x\cos \frac{\pi }{4} + \sin 2x\sin \frac{\pi }{4} =  - \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{6}{{10}}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{{10}}.$