Giải bài tập 6.26 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1}$ và ${x_2}$ thì đa thức $a{x^2} + bx + c$ được phân tích được thành nhân tử sau: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ${x^2} + 11x + 18$;

b) $3{x^2} + 5x - 2$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}$

Vì phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ nên theo định lí Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$.

Thay vào biểu thức $a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}$ ta có:

$a{x^2} - ax.\frac{{ - b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c$

a) Giải phương trình ${x^2} + 11x + 18 = 0$:

Ta có: $\Delta  = {11^2} - 4.1.18 = 49 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {49} }}{2} =  - 2;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {49} }}{2} =  - 9$

Do đó, ${x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)$.

b) Giải phương trình $3{x^2} + 5x - 2 = 0$:

Ta có: $\Delta  = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{6} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{6} =  - 2$

Do đó, $3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)$.