Giải bài tập 6.26 trang 24 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì đa thức \(a{x^2} + bx + c\) được phân tích được thành nhân tử sau: \(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\).

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} + 11x + 18\);

b) \(3{x^2} + 5x - 2\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\)

Vì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) nên theo định lí Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\).

Thay vào biểu thức \(a{x^2} - ax\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + a{x_1}{x_2}\) ta có:

\(a{x^2} - ax.\frac{{ - b}}{a} + a.\frac{c}{a} = a{x^2} + bx + c\)

a) Giải phương trình \({x^2} + 11x + 18 = 0\):

Ta có: \(\Delta  = {11^2} - 4.1.18 = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {49} }}{2} =  - 2;{x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {49} }}{2} =  - 9\)

Do đó, \({x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)\).

b) Giải phương trình \(3{x^2} + 5x - 2 = 0\):

Ta có: \(\Delta  = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{6} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{6} =  - 2\)

Do đó, \(3{x^2} + 5x - 2 = 3\left( {x + 2} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\).