Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}$.

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số f(x) xác định khi $x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$. Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là $D = \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$. Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên $\left( { - \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} =  + \infty$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] =  + \infty$

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} =  - \infty$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] =  - \infty$