Giải bài 5 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của CD.

Tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều.

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên O là trọng tâm tam giác BCD.

Ta có AI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ACD; BI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác BCD (do đó O thuộc BI vì trọng tâm nằm trên đường trung tuyến).

Khi đó, $AI \bot CD$ và $BI \bot CD$.

Suy ra $CD \bot (ABI)$, mà OA thuộc (ABI) nên $CD \bot OA$.