Giải bài 3 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và $SA \bot \left( {ABC} \right)$.

a) Chứng minh rằng $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng $\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác vuông cân tại B nên $AB \bot BC$

Lại có: $SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$

Do đó, $BC \bot \left( {SAB} \right)$, mà $BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$

b) Vì tam giác vuông cân tại B nên BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $BM \bot AC$

Lại có: $SA \bot \left( {ABC} \right),BM \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BM$

Do đó, $BM \bot \left( {SAC} \right)$, mà $BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)$