Giải bài 10 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Tam giác $O{A_1}{A_2}$ vuông cân tại ${A_2}$ có cạnh huyền $O{A_1}$ bằng a. Bên ngoài tam giác $O{A_1}{A_2}$, vẽ tam giác $O{A_2}{A_3}$ vuông cân tại ${A_3}$. Tiếp theo, bên ngoài tam giác $O{A_2}{A_3}$, vẽ tam giác $O{A_3}{A_4}$ vuông cân tại ${A_4}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc ${A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...$

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, $OM = ON = 1$. Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông $O{A_1}{B_1}{C_1}$ sao cho các đỉnh ${A_1},{B_1},{C_1}$ lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác ${A_1}M{B_1}$, vẽ hình vuông ${A_1}{A_2}{B_2}{C_2}$ sao cho các đỉnh ${A_2},{B_2},{C_2}$ lần lượt nằm trên các cạnh ${A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}$. Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng $d:x + y = 2$ cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng ${d_n}:y = \frac{{2n + 1}}{n}x$ tại điểm ${P_n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)$. Kí hiệu ${S_n}$ là diện tích của tam giác $OA{P_n}$. Tính $\lim {S_n}$.

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số: a) $0,\left( 7 \right) = 0,777...$; b) $1,\left( {45} \right) = 1,454545...$

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) $1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...$ b) $2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...$