Bài tập trắc nghiệm Toán 8 - Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Bài 5: Phân thức đại số Toán 8 Chân trời sáng tạo

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

  • A
    \(\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
  • B
    \(\frac{{x + 3}}{5}\)
  • C
    \({x^2} - 3x + 1\)
  • D
    \(\frac{{{x^2} + 4}}{0}\)
Câu 2 :

Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?

  • A
    \(\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}}\) và \(\frac{{xy}}{{3y}}\)
  • B
    \(\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}}\) và \(\frac{{3y}}{{xy}}\)
  • C
    \(\frac{3}{{24x}}\) và \(\frac{{2y}}{{16xy}}\)
  • D
    \(\frac{{3xy}}{5}\) và \(\frac{{3{x^2}y}}{{5y}}\)
Câu 3 :

Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau:

  • A
    \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\) và \(\frac{{x - 5}}{{x + 2}}\)
  • B
    \(\frac{{3y}}{{7{y^2}}}\) và \(\frac{{6y}}{{14y}}\)
  • C
    \(\frac{{5x}}{{4x + 6}}\) và \(\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}\)
  • D
    \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)
Câu 4 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}\) có nghĩa?

  • A
    \(x \ne 3\)
  • B
    \(x \ne \frac{7}{5}\)
  • C
    \(x \ne  - 3\)
  • D
    \(x \ne  \pm 3\)
Câu 5 :

Phân thức \(\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}}\)  có giá trị bằng \(\frac{{11}}{7}\) khi \(x\) bằng:

  • A
    1
  • B
    \(\frac{1}{2}\)
  • C
    2
  • D
    Không có giá trị \(x\) thỏa mãn
Câu 6 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0?

  • A
    0
  • B
    1
  • C
    2
  • D
    3
Câu 7 :

Chọn câu sai.

  • A
    \(\frac{{5x + 5}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{x}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = x - 2\)
  • C
    \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}\)
  • D
    \(\frac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\)
Câu 8 :

Phân thức nào sau đây không bằng với phân thức \(\frac{{3 - x}}{{3 + x}}\)?

  • A
    \( - \frac{{x - 3}}{{3 + x}}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)
Câu 9 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 5}}\) xác định?

  • A
    \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 3\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x \ne  - 2\)
  • D
    \(x \in \mathbb{R}\)
Câu 10 :

Tìm \(a\) để \(\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}\):

  • A
    \(a =  - 2x\)
  • B
    \(a =  - x\)
  • C
    \(a =  - y\)
  • D
    \(a =  - 1\)
Câu 11 :

Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn: \(\frac{M}{{2x - 3}} = \frac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\,\left( {x \ne  \pm \frac{3}{2}} \right)\)

  • A
    \(M = 6{x^2} + 9x\)
  • B
    \(M =  - 3x\)
  • C
    \(M = 3x\)
  • D
    \(M = 2x + 3\)
Câu 12 :

Hãy tìm phân thức \(\frac{P}{Q}\) thỏa mãn đẳng thức: \(\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}}\)

  • A
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{5x + 3}}\)
  • B
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x - 3} \right)}^2}}}\)
Câu 13 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?

  • A
    \(x = 2\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x =  - 2\)
  • D
    \(x =  - 1\)
Câu 14 :

Điều kiện để phân thức \(\frac{{2x - 5}}{3} < 0\) là?

  • A
    \(x > \frac{5}{2}\)
  • B
    \(x < \frac{5}{2}\)
  • C
    \(x <  - \frac{5}{2}\)
  • D
    \(x > 5\)
Câu 15 :

Với \(x \ne y\), hãy viết phân thức \(\frac{1}{{x - y}}\) dưới dạng phân thức có tử là \({x^2} - {y^2}\)

  • A
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}\)
  • C
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}\)
  • D
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)
Câu 16 :

Đưa phân thức \(\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}}\) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

  • A
    \(\frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
  • B
    \(\frac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
  • C
    \(\frac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
  • D
    \(\frac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\)

  • A
    2
  • B
    4
  • C
    8
  • D
    16
Câu 18 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.

  • A
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
Câu 19 :

Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).

  • A
    \(\frac{1}{9}\)
  • B
    \(\frac{1}{3}\)
  • C
    3
  • D
    9
Câu 20 :

Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:

  • A
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức 0)
  • B
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (với \(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức 0)
  • C
    \(\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\)
  • D
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}}\)
Câu 21 :

Phân thức  \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?

  • A
    \(\frac{{x - 4}}{{x + 3}}\)
  • B
    \(\frac{{x + 4}}{{x + 3}}\)
  • C
    \(\frac{{x - 4}}{{x - 3}}\)
  • D
    \(\frac{{x + 4}}{{x - 3}}\)
Câu 22 :

Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?

  • A
    \({\left( {x - 3} \right)^3}\)
  • B
    \(x - 3\)
  • C
    \(2{\left( {x - 3} \right)^4}\)
  • D
    \(2{\left( {x - 3} \right)^3}\)
Câu 23 :

Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:

  • A
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)
  • B
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3y}}{{xyz}}\)
  • C
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2z}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)
  • D
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{3}{{xyz}}\)
Câu 24 :

Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:

  • A
    \(A = \frac{{x - 2}}{2}\)
  • B
    \(A = \frac{{x - 2}}{{2x + 6}}\)
  • C
    \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\)
  • D
    \(A = \frac{{x - 2}}{{2x}}\)
Câu 25 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)

  • A
    \(\left( {x - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • B
    \(\left( {2 - x} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • C
    \({\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • D
    \({\left( {x - 2} \right)^2}\)
Câu 26 :

Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:

  • A
    \(\frac{1}{{{x^3} + 1}};\,\frac{{{x^2} - x + 1}}{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{{x^2} + x}}{{2\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • B
    \(\frac{1}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{{x^2} - x + 1}}{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • C
    \(\frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • D
    \(\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
Câu 27 :

Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne  - 2\).

  • A
    \(x = \frac{{a + 2}}{a}\)
  • B
    \(x = \frac{{a - 2}}{a}\)
  • C
    \(x = \frac{a}{{a - 2}}\)
  • D
    \(x = \frac{a}{{a + 2}}\)
Câu 28 :

Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).

  • A
    \(A = 2\)
  • B
    \(A = 1\)
  • C
    \(A = \frac{1}{2}\)
  • D
    \(A =  - \frac{1}{2}\)
Câu 29 :

Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:

  • A
    \(A = 0\)
  • B
    \(A = 5\)
  • C
    \(A = 1\)
  • D
    \(A = 10\)
Câu 30 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên?

  • A
    0.
  • B
    1.
  • C
    2.
  • D
    3.
Câu 31 :

Cho các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(2\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Chọn câu đúng?

  • A
    Bạn An đúng, bạn Bình sai.
  • B
    Bạn An sai, bạn Bình đúng.
  • C
    Hai bạn đều đúng.
  • D
    Hai bạn đều sai.
Câu 32 :

Rút gọn phân thức \(A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}}\) biết \(3 < x < 5\)

  • A
    \(\frac{2}{{3x - 11}}\)
  • B
    \(\frac{4}{{3x - 11}}\)
  • C
    \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 11} \right)}^2}}}\)
Câu 33 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\)

  • A
    5
  • B
    \(\frac{1}{5}\)
  • C
    9
  • D
    1
Câu 34 :

Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \frac{1}{2}\) là

  • A
    \(A = \frac{{10}}{2}\)
  • B
    \(A =  - \frac{6}{5}\)
  • C
    \(A = \frac{6}{5}\)
  • D
    \(A = \frac{{25}}{2}\)
Câu 35 :

Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    0
  • D
    -2
Câu 36 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    3
  • D
    4
Câu 37 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}\) tại \(x = 98\) và \(y = 1\)

  • A
    99
  • B
    100
  • C
    199
  • D
    96
Câu 38 :

Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x - 3}}{{...}};\,\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{...}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\). Các đa thức lần lượt là:

  • A
    \(x - 3;\,5x + 10\)
  • B
    \({\left( {x - 3} \right)^2}\left( {x + 5} \right);\,5x - 25\)
  • C
    \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25\)
  • D
    \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,x + 5\)
Câu 39 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng?

  • A
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
Câu 40 :

Với điều kiện nào thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?

  • A
    \(x = 2\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x =  - 2\)
  • D
    \(x =  - 1\)
Câu 41 :

Cho \(A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
    \(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\)
  • B
    \(A\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\)
  • C
    Giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào \(x\)
  • D
    \(A\) luôn nhận giá trị âm với mọi \(x\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

  • A
    \(\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
  • B
    \(\frac{{x + 3}}{5}\)
  • C
    \({x^2} - 3x + 1\)
  • D
    \(\frac{{{x^2} + 4}}{0}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào khái niệm phân thức đại số: Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó \(A,\,B\) là hai đa thức và \(B\) khác đa thức 0.

Lời giải chi tiết :

\(\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) có \(A = 1;\,B = {x^2} + 1 > 0\forall x \Rightarrow \frac{1}{{{x^2} + 1}}\) là phân thức đại số

\(\frac{{x + 3}}{5}\) có \(A = x + 3;\,B = 5 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{5}\) là phân thức đại số

\({x^2} - 3x + 1\) có \(A = {x^2} - 3x + 1;\,B = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x + 1\) là phân thức đại số

\(\frac{{{x^2} + 4}}{0}\) có \(A = {x^2} + 4;\,B = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2} + 4}}{0}\) không là phân thức đại số

Câu 2 :

Cặp phân thức nào sau đây bằng nhau?

  • A
    \(\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}}\) và \(\frac{{xy}}{{3y}}\)
  • B
    \(\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}}\) và \(\frac{{3y}}{{xy}}\)
  • C
    \(\frac{3}{{24x}}\) và \(\frac{{2y}}{{16xy}}\)
  • D
    \(\frac{{3xy}}{5}\) và \(\frac{{3{x^2}y}}{{5y}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} = \frac{{ - x}}{3};\,\frac{{xy}}{{3y}} = \frac{x}{3}\)
Vì \(\frac{{ - x}}{3} \ne \frac{x}{3} \) nên \( \frac{{ - {x^2}y}}{{3xy}} \ne \frac{{xy}}{{3y}}\)
Ta có: \(\frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} =  - x;\,\frac{{3y}}{{xy}} = \frac{3}{x}\)
Vì \( - x \ne \frac{3}{x} \) nên \( \frac{{ - {x^2}y}}{{xy}} \ne \frac{{3y}}{{xy}}\)
Ta có: \(\frac{3}{{24x}} = \frac{1}{{8x}};\,\frac{{2y}}{{16xy}} = \frac{1}{{8x}} \)
Suy ra \( \frac{3}{{24x}} = \frac{{2y}}{{16xy}}\)
Vì \(\frac{{3{x^2}y}}{{5y}} = \frac{{3{x^2}}}{5} \ne \frac{{3xy}}{5} \) nên \( \frac{{3xy}}{5} \ne \frac{{3{x^2}y}}{{5y}}\)

Câu 3 :

Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau:

  • A
    \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\) và \(\frac{{x - 5}}{{x + 2}}\)
  • B
    \(\frac{{3y}}{{7{y^2}}}\) và \(\frac{{6y}}{{14y}}\)
  • C
    \(\frac{{5x}}{{4x + 6}}\) và \(\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}\)
  • D
    \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào khái niệm phân thức đại số: Một phân thức đại số (hay nói gọn là một phân thức) là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\), trong đó \(A,\,B\) là hai đa thức và \(B\) khác đa thức 0. \(A\) được gọi là tử thức (hoặc tử) và \(B\) được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu).

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\) có mẫu là \({x^2} + 2\); \(\frac{{x - 5}}{{x + 2}}\) có mẫu là \(x + 2\)

Vì \({x^2} + 2 \ne x + 2\) nên \(\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 2}}\) và \(\frac{{x - 5}}{{x + 2}}\) không có mẫu giống nhau

\(\frac{{3y}}{{7{y^2}}}\) có mẫu là \(7{y^2}\); \(\frac{{6y}}{{14y}}\) có mẫu là \(14y\)

Vì \(7{y^2} \ne 14y\) nên \(\frac{{3y}}{{7{y^2}}}\) và \(\frac{{6y}}{{14y}}\) không có mẫu giống nhau

\(\frac{{5x}}{{4x + 6}}\) có mẫu là \(4x + 6\); \(\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}\) có mẫu là \(2\left( {2x + 3} \right)\)

Vì \(4x + 6 = 2\left( {2x + 3} \right)\) nên \(\frac{{5x}}{{4x + 6}}\) và \(\frac{{x + 3}}{{2\left( {2x + 3} \right)}}\) có mẫu giống nhau

\(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) có mẫu là \({x^2} + x + 1\); \(\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\) có mẫu là \({x^2} - x + 1\)

Vì \({x^2} + x + 1 \ne {x^2} - x + 1\) nên \(\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\) và \(\frac{{2x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\) không có mẫu giống nhau

Câu 4 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}\) có nghĩa?

  • A
    \(x \ne 3\)
  • B
    \(x \ne \frac{7}{5}\)
  • C
    \(x \ne  - 3\)
  • D
    \(x \ne  \pm 3\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức \(B\) khác 0.

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{x^2} - 9}}\) có nghĩa khi \({x^2} - 9 \ne 0 \) hay \( x \ne  \pm 3\)

Câu 5 :

Phân thức \(\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}}\)  có giá trị bằng \(\frac{{11}}{7}\) khi \(x\) bằng:

  • A
    1
  • B
    \(\frac{1}{2}\)
  • C
    2
  • D
    Không có giá trị \(x\) thỏa mãn

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức \(B\) khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(5 - 3x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{3}\)

Để \(\frac{{7x + 2}}{{5 - 3x}} = \frac{{11}}{7} \Leftrightarrow \left( {7x + 2} \right)7 = 11\left( {5 - 3x} \right) \Leftrightarrow 49x + 14 = 55 - 33x\)

\( \Leftrightarrow 82x = 41 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện)

Câu 6 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) có giá trị bằng 0?

  • A
    0
  • B
    1
  • C
    2
  • D
    3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức \(B\) khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \({x^2} - 2x + 1 \ne 0\)

\({\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\)

\(x - 1 \ne 0 \)

\(x \ne 1\)

Ta có:

\(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = 0\)

\({x^2} - 1 = 0\)

\({x^2} = 1\)

\(x = 1(L)\) hoặc \(x =  - 1(TM)\)

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 7 :

Chọn câu sai.

  • A
    \(\frac{{5x + 5}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{x}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = x - 2\)
  • C
    \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}\)
  • D
    \(\frac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\left( {5x + 5} \right)x = 5\left( {x + 1} \right)x = 5x\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{x}\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 2x + 2x - 4 = {x^2} - 4 \Rightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = x - 2\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {x^2} + 3x - 3x - 9 = {x^2} - 9 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}\\5.5x = 25x \ne 5x + 5 \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} \ne 5\end{array}\)

Câu 8 :

Phân thức nào sau đây không bằng với phân thức \(\frac{{3 - x}}{{3 + x}}\)?

  • A
    \( - \frac{{x - 3}}{{3 + x}}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

A. \( - \frac{{x - 3}}{{3 + x}} = \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{3 + x}} = \frac{{ - x + 3}}{{3 + x}} = \frac{{3 - x}}{{3 + x}}\)

B.

\(\begin{array}{l}\left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 - x} \right)^2}\left( {3 + x} \right)\\\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 + x} \right)^2}\left( {3 + x} \right) = {\left( {3 + x} \right)^3}\\ \Rightarrow \frac{{3 - x}}{{3 + x}} \ne \frac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\\\end{array}\)

C.

\(\begin{array}{l}\left( {9 - {x^2}} \right)\left( {3 + x} \right) = \left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {3 + x} \right) = \left( {3 - x} \right){\left( {3 + x} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \frac{{3 - x}}{{3 + x}}\end{array}\)

D.

\(\begin{array}{l}\left( { - 3 - x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( { - 1} \right)\left( {3 + x} \right)\left( {3 - x} \right) = \left( {3 + x} \right)\left( {x - 3} \right)\\ \Rightarrow \frac{{3 - x}}{{3 + x}} = \frac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\end{array}\)

Câu 9 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 5}}\) xác định?

  • A
    \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 3\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x \ne  - 2\)
  • D
    \(x \in \mathbb{R}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức \(B\) khác 0.

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4x + 5}}\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} + 4x + 5 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne  - 1\)

(luôn đúng vì \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x\))

Vậy phân thức xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Câu 10 :

Tìm \(a\) để \(\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}\):

  • A
    \(a =  - 2x\)
  • B
    \(a =  - x\)
  • C
    \(a =  - y\)
  • D
    \(a =  - 1\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(a{x^4}{y^4}.4y = 4a{x^4}{y^5}\) và \( - 4x{y^2}.{x^3}{y^3} =  - 4{x^4}{y^5}\)

Để \(\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}\)thì \(4a{x^4}{y^5} =  - 4{x^4}{y^5}\).

Do đó \(4a =  - 4\) nên \(a =  - 1\)

Câu 11 :

Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn: \(\frac{M}{{2x - 3}} = \frac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\,\left( {x \ne  \pm \frac{3}{2}} \right)\)

  • A
    \(M = 6{x^2} + 9x\)
  • B
    \(M =  - 3x\)
  • C
    \(M = 3x\)
  • D
    \(M = 2x + 3\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Với \(x \ne  \pm \frac{3}{2}\) ta có: \(\frac{M}{{2x - 3}} = \frac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}} \\ M\left( {4{x^2} - 9} \right) = \left( {6{x^2} + 9x} \right)\left( {2x - 3} \right)\)

\(M\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)\\M = 3x\)

Câu 12 :

Hãy tìm phân thức \(\frac{P}{Q}\) thỏa mãn đẳng thức: \(\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}}\)

  • A
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{5x + 3}}\)
  • B
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x - 3} \right)}^2}}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {5x + 3} \right)P\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right) = \left( {2x - 1} \right)Q\left( {5x - 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {5x + 3} \right)^2}P = \left( {2x - 1} \right)Q\\ \Rightarrow \frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

Câu 13 :

Với điều kiện nào của \(x\) thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?

  • A
    \(x = 2\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x =  - 2\)
  • D
    \(x =  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện xác định của phân thức: Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{A}{B}\) là điều kiện của biến để giá trị của mẫu thức \(B\) khác 0.

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\{x^2} + x + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ne 0\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\,\left( {\forall x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \ne 1\end{array}\)

Ta có: \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}};\)

\(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow  - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Câu 14 :

Điều kiện để phân thức \(\frac{{2x - 5}}{3} < 0\) là?

  • A
    \(x > \frac{5}{2}\)
  • B
    \(x < \frac{5}{2}\)
  • C
    \(x <  - \frac{5}{2}\)
  • D
    \(x > 5\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhân cả 2 vế với số dương 3 ta được điều kiện cần tìm.

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{2x - 5}}{3} < 0 \Rightarrow 2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}\)

Câu 15 :

Với \(x \ne y\), hãy viết phân thức \(\frac{1}{{x - y}}\) dưới dạng phân thức có tử là \({x^2} - {y^2}\)

  • A
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}\)
  • C
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}\)
  • D
    \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu \(AD = BC\).

Lời giải chi tiết :

Phân thức cần tìm có dạng là \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{A}\)

Ta có: \(\frac{1}{{x - y}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{A} \Leftrightarrow A.1 = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow A = \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow A = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right)\)

Vậy phân thức cần tìm là \(\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}\)

Câu 16 :

Đưa phân thức \(\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}}\) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.

  • A
    \(\frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
  • B
    \(\frac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
  • C
    \(\frac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
  • D
    \(\frac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với 3.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\left( {\frac{1}{3}x - 2} \right)}}{{3\left( {{x^2} - \frac{4}{3}} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)

Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\)

  • A
    2
  • B
    4
  • C
    8
  • D
    16

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\) cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu thức \({x^2} - 2x + 5\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\forall x\) hay \({x^2} - 2x + 5 \ge 4\)

\( \Rightarrow \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}} \le \frac{{16}}{4} \Leftrightarrow A \le 4\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Vậy với \(x = 1\) thì \(A\) đạt giá trị lớn nhất là 4.

Câu 18 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.

  • A
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi để phân thức hai vế có cùng mẫu từ đó so sánh.

Lời giải chi tiết :

Do \(a > b > 0\) nên \(a - b > 0;\,a + b > 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) > 0\)

Ta có: \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a + b}}{{a - b}}\)

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với \(\left( {a - b} \right)\) ta được:

\(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))

Câu 19 :

Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).

  • A
    \(\frac{1}{9}\)
  • B
    \(\frac{1}{3}\)
  • C
    3
  • D
    9

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Từ biểu thức \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) tìm mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\) từ đó tính được giá trị của biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(4{a^2} + {b^2} = 5ab \Leftrightarrow 4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4a\left( {a - b} \right) - b\left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {4a - b} \right)\left( {a - b} \right) = 0\)

Do \(2a > b > 0 \Rightarrow 4a > b \Rightarrow 4a - b > 0\)

\( \Rightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\)

Vậy \(A = \frac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \frac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \frac{1}{3}\)

Câu 20 :

Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:

  • A
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức 0)
  • B
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (với \(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức 0)
  • C
    \(\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\)
  • D
    \(\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0)

- Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung)

Lời giải chi tiết :

Theo tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta có:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức 0) \( \Rightarrow \frac{A}{B} = \frac{{A\left( { - 1} \right)}}{{B\left( { - 1} \right)}} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\)

\(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (với \(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức 0)

Mệnh đề \(\frac{A}{B} = \frac{{A + M}}{{B + M}}\) sai. Ví dụ: \(\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4} = \frac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\)

Câu 21 :

Phân thức  \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?

  • A
    \(\frac{{x - 4}}{{x + 3}}\)
  • B
    \(\frac{{x + 4}}{{x + 3}}\)
  • C
    \(\frac{{x - 4}}{{x - 3}}\)
  • D
    \(\frac{{x + 4}}{{x - 3}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Lời giải chi tiết :

\(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{{x^2} - 4x - 3x + 12}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) - 3\left( {x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x - 4}}{{x - 3}}\)

Câu 22 :

Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?

  • A
    \({\left( {x - 3} \right)^3}\)
  • B
    \(x - 3\)
  • C
    \(2{\left( {x - 3} \right)^4}\)
  • D
    \(2{\left( {x - 3} \right)^3}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết :

Mẫu thức của hai phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\) là \(2\left( {x - 3} \right)\) và \({\left( {x - 3} \right)^3}\) nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là \({\left( {x - 3} \right)^3}\).

\( \Rightarrow \)Mẫu thức chung là \(2{\left( {x - 3} \right)^3}\)

Câu 23 :

Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:

  • A
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)
  • B
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3y}}{{xyz}}\)
  • C
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2z}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)
  • D
    \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{3}{{xyz}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm các mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Mẫu chung của các phân thức là \(xyz\)

Nhân tử phụ của \(\frac{1}{x}\) là \(yz\)\( \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}}\)

Nhân tử phụ của \(\frac{2}{y}\) là \(x{\rm{z}}\)\( \Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{{2{\rm{xz}}}}{{xyz}}\)

Nhân tử phụ của \(\frac{3}{z}\) là \(xy\)\( \Rightarrow \frac{3}{z} = \frac{{3{\rm{x}}y}}{{xyz}}\)

Vậy quy đồng mẫu số các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được \(\frac{1}{x} = \frac{{yz}}{{xyz}},\,\frac{2}{y} = \frac{{2xz}}{{xyz}},\,\frac{3}{z} = \frac{{3xy}}{{xyz}}\)

Câu 24 :

Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:

  • A
    \(A = \frac{{x - 2}}{2}\)
  • B
    \(A = \frac{{x - 2}}{{2x + 6}}\)
  • C
    \(A = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\)
  • D
    \(A = \frac{{x - 2}}{{2x}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{2\left( {{x^2} + 3x} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}\)

Câu 25 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)

  • A
    \(\left( {x - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • B
    \(\left( {2 - x} \right){\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • C
    \({\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)
  • D
    \({\left( {x - 2} \right)^2}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có mẫu thức lần lượt là: \(2 - x,\,{\left( {x - 2} \right)^2}\) và \({x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}\) nên mẫu thức chung là \({\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\)

Câu 26 :

Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:

  • A
    \(\frac{1}{{{x^3} + 1}};\,\frac{{{x^2} - x + 1}}{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{{x^2} + x}}{{2\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • B
    \(\frac{1}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{{x^2} - x + 1}}{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • C
    \(\frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)
  • D
    \(\frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}};\,\frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm các mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho mẫu thức đó;

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right);\,3x + 3 = 3\left( {x + 1} \right);\,2{x^2} - 2x + 2 = 2\left( {{x^2} - x + 1} \right)\) và \(BCNN\left( {2;3} \right) = 6\) nên mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) là \(6\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 6\left( {{x^3} + 1} \right)\).

Nhân tử phụ của \(\frac{1}{{{x^3} + 1}}\) là \(6\). \( \Rightarrow \frac{1}{{{x^3} + 1}} = \frac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)

Nhân tử phụ của \(\frac{2}{{3x + 3}}\) là \(2\left( {{x^2} - x + 1} \right)\). \( \Rightarrow \frac{2}{{3x + 3}} = \frac{{2.2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)

Nhân tử phụ của \(\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) là \(3\left( {x + 1} \right)\). \( \Rightarrow \frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}} = \frac{{x.3\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right)3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}\)

Câu 27 :

Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne  - 2\).

  • A
    \(x = \frac{{a + 2}}{a}\)
  • B
    \(x = \frac{{a - 2}}{a}\)
  • C
    \(x = \frac{a}{{a - 2}}\)
  • D
    \(x = \frac{a}{{a + 2}}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chuyển những đơn thức có chứa biến về một vế, những đơn thức không chứa biến về một vế.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}{a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2}x + 2ax = {a^2} - 4\\ \Leftrightarrow x\left( {{a^2} + 2a} \right) = {a^2} - 4\\ \Leftrightarrow x = \frac{{{a^2} - 4}}{{{a^2} + 2a}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{\left( {a - 2} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{a - 2}}{a}\end{array}\)

Câu 28 :

Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).

  • A
    \(A = 2\)
  • B
    \(A = 1\)
  • C
    \(A = \frac{1}{2}\)
  • D
    \(A =  - \frac{1}{2}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Rút gọn phân thức \(A\):

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Tính giá trị của phân thức \(A\) tại \(x = 1\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}\)

Tại \(x = 1\) ta có \(A = \frac{{1 - 2}}{{2.1}} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Câu 29 :

Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:

  • A
    \(A = 0\)
  • B
    \(A = 5\)
  • C
    \(A = 1\)
  • D
    \(A = 10\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Rút gọn phân thức \(A\):

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Tính giá trị của phân thức \(A\) với \(a + 2b = 5\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}} = \frac{{2\left( {{a^2} + 4ab + 4{b^2}} \right)}}{{a + 2b}} = \frac{{2{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}}{{a + 2b}} = 2\left( {a + 2b} \right) = 2.5 = 10\)

Câu 30 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên?

  • A
    0.
  • B
    1.
  • C
    2.
  • D
    3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên thì \(5 \vdots \left( {3x + 2} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{ - 2}}{3}\)

Để \(\frac{5}{{3x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {3x + 2} \right) \in \left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

Với \(3x + 2 =  - 5 \Leftrightarrow x =  - \frac{7}{3}\) (loại vì \(x \notin \mathbb{Z}\))

Với \(3x + 2 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 1\) (thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\))

Với \(3x + 2 = 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{3}\)(loại vì \(x \notin \mathbb{Z}\))

Với \(3x + 2 = 5 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn \(x \in \mathbb{Z}\))

Vậy có hai giá trị x để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.

Câu 31 :

Cho các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(2\left( {{x^2} - 1} \right)\)

Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Chọn câu đúng?

  • A
    Bạn An đúng, bạn Bình sai.
  • B
    Bạn An sai, bạn Bình đúng.
  • C
    Hai bạn đều đúng.
  • D
    Hai bạn đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức bằng cách lấy tích của các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng);

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\) có mẫu thức lần lượt là: \(3 - 3x = 3\left( {1 - x} \right);\,4x + 4 = 4\left( {x + 1} \right)\) và \(2\left( {{x^2} - 1} \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

Vì \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\) và \(BCNN\left( {2;3;4} \right) = 12\) nên mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)  là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Vậy An sai, Bình đúng.

Câu 32 :

Rút gọn phân thức \(A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}}\) biết \(3 < x < 5\)

  • A
    \(\frac{2}{{3x - 11}}\)
  • B
    \(\frac{4}{{3x - 11}}\)
  • C
    \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 11} \right)}^2}}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giá trị tuyệt đối của \(x\) được xác định như sau:

\(|x| = \left\{ \begin{array}{l}x|x \ge 0\\ - x|x < 0\end{array} \right.\)

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Lời giải chi tiết :

\(3 < x < 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 3} \right| = x - 3\\\left| {x - 5} \right| = 5 - x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}} = \frac{{4\left( {x - 3} \right) - 2\left( {5 - x} \right)}}{{{{\left( {3x} \right)}^2} - 2.3x.11 + {{11}^2}}}\\ = \frac{{4x - 12 - 10 + 2x}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{{6x - 22}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {3x - 11} \right)}}{{{{\left( {3x - 11} \right)}^2}}} = \frac{2}{{3x - 11}}\end{array}\)

Câu 33 :

Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\)

  • A
    5
  • B
    \(\frac{1}{5}\)
  • C
    9
  • D
    1

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\) cần tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \({x^2} - 6x + 10\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \({x^2} - 6x + 10 = {x^2} - 6x + 9 + 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 1\)

Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\forall x\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + 1 \ge 1\forall x\) hay \({x^2} - 6x + 10 \ge 1\forall x\)

\( \Rightarrow \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}} \le \frac{5}{1} = 5 \Leftrightarrow A \le 5\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy với \(x = 3\) thì \(A\) đạt giá trị lớn nhất là 5.

Câu 34 :

Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \frac{1}{2}\) là

  • A
    \(A = \frac{{10}}{2}\)
  • B
    \(A =  - \frac{6}{5}\)
  • C
    \(A = \frac{6}{5}\)
  • D
    \(A = \frac{{25}}{2}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút gọn biểu thức \(A\):

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x = \frac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\)

Với \(x = \frac{1}{2}\) ta có \(A = \frac{{2\left( {\frac{1}{2} - 2} \right)}}{{\frac{1}{2} + 2}} =  - \frac{6}{5}\)

Câu 35 :

Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    0
  • D
    -2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) ta cần biến đổi A thành dạng \({(P(x))^2} + Q\), khi đó \(GTNN\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}Q\).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{{2x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 - \frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}} + {\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}\)

Ta có \({\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x\) hay \(A \ge \frac{3}{4}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) tại \(x = 2\)

Câu 36 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    3
  • D
    4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên thì \(\left( {{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6} \right) \vdots \left( {x + 2} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 - 2}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}} = {x^2} + 4 - \frac{2}{{x + 2}}\end{array}\)

Ta có \({x^2} \in \mathbb{Z}\,\,\,\forall x \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên thì \(\frac{2}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x + 2} \right) \in \) Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\)

\(\begin{array}{l} + )\,x + 2 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 4\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 3\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 1 \Leftrightarrow x =  - 1\,\left( {TM} \right)\\ + )\,x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên.

Câu 37 :

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}\) tại \(x = 98\) và \(y = 1\)

  • A
    99
  • B
    100
  • C
    199
  • D
    96

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút gọn phân thức \(A\):

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Tính giá trị của phân thức \(A\) với \(x = 98\) và \(y = 1\)

Lời giải chi tiết :

\(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}\left( {x + 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}} = x + 2y\)

Tại \(x = 98\) và \(y = 1\) ta có \(A = 98 + 2.1 = 100\)

Câu 38 :

Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x - 3}}{{...}};\,\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{...}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\). Các đa thức lần lượt là:

  • A
    \(x - 3;\,5x + 10\)
  • B
    \({\left( {x - 3} \right)^2}\left( {x + 5} \right);\,5x - 25\)
  • C
    \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25\)
  • D
    \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,x + 5\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0)

- Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung)

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}{x^2} + 8x + 15 = {x^2} + 5x + 3x + 15 = x\left( {x + 5} \right) + 3\left( {x + 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\\ \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{1}{{x + 5}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\\ \Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{5}{{x - 3}}\end{array}\)

Mẫu thức chung của hai phân thức sau khi rút gọn là \(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}}\) là \(x - 3\)

\( \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{1}{{x + 5}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

Nhân tử phụ của phân thức \(\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) là \(x + 5\)

\( \Rightarrow \frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{5}{{x - 3}} = \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{5x + 25}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\)

Vậy các đa thức cần tìm lần lượt là: \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25\)

Câu 39 :

Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng?

  • A
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • B
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • C
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
  • D
    \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số:

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác đa thức 0)

- Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung)

Lời giải chi tiết :

Do \(a > b > 0\) nên \(a - b > 0;\,a + b > 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) > 0 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} > 0\)

Ta có: \(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}} = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}:\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right):\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a + b}}{{a - b}}\)

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với \(\left( {a - b} \right)\) ta được:

\(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} < \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))

Câu 40 :

Với điều kiện nào thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?

  • A
    \(x = 2\)
  • B
    \(x \ne 1\)
  • C
    \(x =  - 2\)
  • D
    \(x =  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất cơ bản của phân thức đại số:

Nếu tử và mẫu của một phân thức có nhân tử chung thì khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó ta được một phân thức bằng phân thức đã cho:

\(\frac{{A:N}}{{B:N}} = \frac{A}{B}\) (\(N\) là một nhân tử chung)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\{x^2} + x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ne 0\,\forall x\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow  - 2 = 2\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 =  - 1 \Leftrightarrow x =  - 2\,(tm)\end{array}\)

Câu 41 :

Cho \(A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}}\). Kết luận nào sau đây đúng?

  • A
    \(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\)
  • B
    \(A\) luôn nhận giá trị dương với mọi \(x\)
  • C
    Giá trị của \(A\) không phụ thuộc vào \(x\)
  • D
    \(A\) luôn nhận giá trị âm với mọi \(x\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Rút gọn phân thức \(A\):

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Đánh giá dấu của phân thức \(A\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^4} - {x^3} - x + 1}}{{{x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{{x^3}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + 2}} = \frac{{\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}}\end{array}\)Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\forall x\) và \({x^2} + 2 > 0\forall x\) nên \(A = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\forall x\)

Vậy \(A\) luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x\).

Bài liên quan
close

Tiện ích | Blog

Nội dung từ Loigiaihay.Com