Trắc nghiệm Bài 6: Cộng, trừ phân thức Toán 8 Chân trời sáng tạoĐề bài
Câu 1 :
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Câu 2 :
Chọn khẳng định đúng?
Câu 3 :
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Câu 4 :
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Câu 5 :
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Câu 6 :
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Câu 7 :
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Câu 8 :
Chọn câu đúng?
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Câu 10 :
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Câu 11 :
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Câu 12 :
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Câu 13 :
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Câu 14 :
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Câu 15 :
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Câu 16 :
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Câu 17 :
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Câu 18 :
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Câu 19 :
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Câu 20 :
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Câu 22 :
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Câu 23 :
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Câu 24 :
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Câu 25 :
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Câu 26 :
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức. Lời giải chi tiết :
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\)
Câu 2 :
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
Quy đồng mẫu thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\): \(\frac{A}{B} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\frac{C}{D} = \frac{{BC}}{{BD}}\) Do đó \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BD}} - \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
Câu 3 :
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. Lời giải chi tiết :
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \( - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\).
Câu 4 :
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức. Lời giải chi tiết :
\(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{1} = x - 2\)
Câu 5 :
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\\ \Rightarrow A = \frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{\left( {x + 2} \right)2}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{2x + 4}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{3{x^2} - 3x + 5x - 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} - 3x + 5x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{2x + 4 - 3{x^2} - 2x + 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\end{array}\)
Câu 6 :
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
A. \(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 4x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\) B. \(\begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - 2{x^2} - 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\) C. \(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\) D. \(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - 2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\) Vậy phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
Câu 7 :
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối. Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{x + 3}} + \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\\ = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{ - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{3x + 21 + 2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x - 3}}\end{array}\)
Câu 8 :
Chọn câu đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
A. \(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x - y}} \ne \frac{{x - y}}{{x + y}}\end{array}\) B. \(\begin{array}{l}\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{3x + 2 - 2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\end{array}\) C. \(\begin{array}{l}\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3\left( {2x + 3} \right)}}{{18}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{18}} = \frac{{6x + 9}}{{18}} + \frac{{2x + 2}}{{18}}\\ = \frac{{6x + 9 + 2x + 2}}{{18}} = \frac{{8x + 11}}{{18}} \ne \frac{{3x + 4}}{{18}}\end{array}\) D. \(\begin{array}{l}\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x + 3 + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{5x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Câu 9 :
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}} = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \left( {\frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{7}{{x - 1}}} \right)\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{{x^2} - 5x - x + 5}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} - 5x - x + 5 + 7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{8{x^2} + x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {2{x^2} + x - 3} \right) - \left( {8{x^2} + x + 12} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3 - 8{x^2} - x - 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)
Câu 10 :
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}} = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{5.2\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4x\left( {2x - 3} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{8{x^2} - 12x}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10 + 8{x^2} - 12x + 4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{12{x^2} + 8x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{12{x^2} - 6x + 14x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x\left( {2x - 1} \right) + 7\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {6x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x + 7}}{{4x}}\end{array}\) Với \(x = \frac{1}{4}\) ta có: \(A = \frac{{6 \cdot \frac{1}{4} + 7}}{{4 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{{\frac{3}{2} + 7}}{1} = \frac{3}{2} + 7 = \frac{3}{2} + \frac{{14}}{2} = \frac{{17}}{2}\)
Câu 11 :
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x - 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 23} \right)}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x - 3 - x + 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\end{array}\) Với \(x = 2023\), ta có: \(B = \frac{{20}}{{\left( {2023 - 23} \right)\left( {2023 - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{2000.2020}} = \frac{{20}}{{20.100.2020}} = \frac{1}{{100.2020}} = \frac{1}{{202000}}\)
Câu 12 :
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x - 3} \right) + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 6 + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\) \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)
Câu 13 :
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\ = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\ = 1 - \frac{1}{{100}} = \frac{{99}}{{100}}\end{array}\)
Câu 14 :
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2} - {z^2} + {y^2}{z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x - x{y^2} - x{z^2} + x{y^2}{z^2} + y - {x^2}y - y{z^2} + {x^2}y{z^2} + z - {x^2}z - {y^2}z + {x^2}{y^2}z}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - {x^2}y - {x^2}z} \right) + \left( {y - x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {z - x{{\rm{z}}^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} + {x^2}{y^2}z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - xy - x{\rm{z}}} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - x{\rm{z}} - yz} \right) + xyz\left( {yz + x{\rm{z}} + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x.yz + y.x{\rm{z}} + z.xy + xyz.1}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\end{array}\)
Câu 15 :
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tính tổng \(\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\) sau đó đồng nhất hệ số. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + Bx + 3B + C{x^2} + 6Cx + 9C}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{C{x^2} + \left( {B + 6C} \right)x + \left( {A + 3B + 9C} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\end{array}\) \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 2\\B + 6C = - 3\\A + 3B + 9C = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 39\\B = - 15\\C = 2\end{array} \right.\)
Câu 16 :
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
Từ điều kiện \(3y - x = 6\) thế \(x = 3y - 6\) vào biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\). Lời giải chi tiết :
\(3y - x = 6 \Rightarrow x = 3y - 6\) Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) ta được: \(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}} = \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}} = 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\)
Câu 17 :
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12\left( {x + 2} \right) + \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12x + 24 + 3 - x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right) - \left( {11x + 27} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10x + 30 - 11x - 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{ - x + 3}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\) Tại \(x = - \frac{3}{4}\) ta có \(A = \frac{1}{{\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4}}} = \frac{1}{{\frac{{45}}{{16}}}} = \frac{{16}}{{45}}\) Vậy \(0 < A < 1\).
Câu 18 :
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
Câu 19 :
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) sau đó tìm giá trị nguyên của \(x\) mẫu thức là ước của tử thức. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\end{array}\) Để \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\left( {{\rm{t/m}}\,x \ne 1} \right)\)
Câu 20 :
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối. Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne \pm 2\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{4x - 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} - 4x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}\end{array}\) Để \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{3}{{x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 3} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = - 3\\x - 3 = - 1\\x - 3 = 1\\x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 2\,\left( {{\rm{ko}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\\x = 4\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 6\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\) Vậy có 3 giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên.
Câu 21 :
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{2}{x}\\ = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 2x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x - 3 + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
Câu 22 :
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = {x^2} + x + 1 - x + 1 = {x^2} + 2\end{array}\) Ta có \({x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2\forall x\) hay \(A \ge 2\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) Vậy \(MinA = 0\) khi \(x = 0\).
Câu 23 :
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\end{array}\)
Câu 24 :
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\). Lời giải chi tiết :
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(\begin{array}{l}\frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {1 + ac + c} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {c + 1 + ac} \right)}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac}}{{1 + ac + c}} + \frac{1}{{c + 1 + ac}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}} = 1\end{array}\)
Câu 25 :
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Từ điều kiện \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) dễ dàng có được \(x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\\ = \left( {x + \frac{{{x^2}}}{{y + z}}} \right) + \left( {y + \frac{{{y^2}}}{{x + z}}} \right) + \left( {z + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {1 + \frac{x}{{y + z}}} \right) + y\left( {1 + \frac{y}{{x + z}}} \right) + z\left( {1 + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {\frac{{x + y + z}}{{y + z}}} \right) + y\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + z}}} \right) + z\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + y}}} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow x + y + z = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right) = 1\end{array}\)
Câu 26 :
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} = - 1\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{a - b}}} \right)^2}\\ = {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\end{array}\) (Vì \({\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} \ge 0\forall a,\,b,\,c\) đôi một khác nhau) Mà \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) \(\begin{array}{l} = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ = \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 2\end{array}\)
|
