Trả lời câu hỏi trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 59 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\overrightarrow n  = (A;B;C)$ là vecto pháp tuyến. Cho điểm ${M_0}(2;3;4)$. Gọi $H({x_H};{y_H};{z_H})$ là hình chiếu vuông góc của điểm ${M_0}$ trên mặt phẳng (P) (Hình 16)

a) Tính tọa độ của $\overrightarrow {H{M_0}}$ theo ${x_H},{y_H},{z_H}$

b) Nêu nhận xét về phương của hai vecto $\overrightarrow n  = (A;B;C)$, $\overrightarrow {H{M_0}}$. Từ đó, hãy suy ra rằng $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|$

c) Tính các độ dài $\left| {\overrightarrow n } \right|$, $\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|$ theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm ${M_0}(2;3;4)$ đến mặt phẳng (P)

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {H{M_0}}  = (2 - {x_H};3 - {y_H};4 - {z_H})$

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của ${M_0}$ trên mặt phẳng (P) nên 2 vecto $\overrightarrow n$ và $\overrightarrow {H{M_0}}$ cùng phương

Ta có: $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|.\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {H{M_0}} } \right)} \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right|$

Lại có: $\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}}  = A(2 - {x_H}) + B(3 - {y_H}) + C(4 - {z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + ( - A{x_H} - B{y_H} - C{z_H}) = A.2 + B.3 + C.4 + D$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|$

Vậy $\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|$

c) $\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$

$\left| {\overrightarrow {H{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {H{M_0}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Vậy công thức tính khoảng cách từ điểm ${M_0}(2;3;4)$ đến mặt phẳng (P) là $d({M_0};(P)) = \frac{{\left| {A.2 + B.3 + C.4 + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$