Lý thuyết Phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = (a;b;c)$. Hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = (a;b;c)$ với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình

$\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt ${A_1}({x_1};{y_1};{z_1})$ và ${A_2}({x_2};{y_2};{z_2})$. Đường thẳng ${A_1}{A_2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = ({x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1};{z_2} - {z_1})$.

- Đường thẳng ${A_1}{A_2}$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_1} + ({x_2} - {x_1})t\\y = {y_1} + ({y_2} - {y_1})t\\z = {z_1} + ({z_2} - {z_1})t\end{array} \right.$ $(t \in R)$.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}({x_1};{y_1};{z_1})$, ${A_2}({x_2};{y_2};{z_2})$ và tương ứng có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} ({x_1};{y_1};{z_1})$, $\overrightarrow {{u_2}} ({x_2};{y_2};{z_2})$. Khi đó:

+ ${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \notin {\Delta _2}$.

+ ${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$.

+ ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \bot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \cdot \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} ({a_1};{b_1};{c_1})$, $\overrightarrow {{u_2}} ({a_2};{b_2};{c_2})$. Khi đó, ta có:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow u ({a_1};{b_1};{c_1})$ và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n ({a_2};{b_2};{c_2})$. Gọi $(\Delta ,(P))$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). Khi đó, ta có:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $({P_1}),({P_2})$ có vecto pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} ({A_1};{B_1};{C_1})$, $\overrightarrow {{n_2}} ({A_2};{B_2};{C_2})$. Khi đó, ta có: