Giải mục 3 trang 71, 72, 73, 74, 75 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ8

Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$. Lấy hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ sao cho ${\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right),$ ${\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)$ (Hình 31).

\

a) Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$.

b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ như trên không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

Lời giải chi tiết:

a) Vẽ hai đường thẳng $\Delta _1',\Delta _2'$ cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ${\Delta _1},{\Delta _2}$. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _1',\Delta _2'$.

b) Vì ${\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right)$ và $\Delta _1'$ song song (hoặc trùng) với ${\Delta _1}$ nên $\Delta _1' \bot \left( {{P_1}} \right)$.

Tương tự ta có: $\Delta _2' \bot \left( {{P_2}} \right)$.

Khi đó, góc giữa hai đường thẳng $\Delta _1',\Delta _2'$ luôn là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ nên góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ không phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$.

Quảng cáo

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong Ví dụ 10, tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Vì ADD’A’ là hình vuông nên $AD' \bot A'D$. Vì $CD \bot \left( {ADD'A'} \right)$ nên $CD \bot AD'$. Do đó, $AD' \bot \left( {CDA'B'} \right)$.

Mặt khác, $C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right)$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) là góc giữa hai đường thẳng AD’ và C’D’, đó là góc AD’C’.

Vì $C'D' \bot \left( {ADD'A'} \right)$ nên $C'D' \bot AD'$, suy ra . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) bằng 90 độ.

HĐ9

Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$. Gọi $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)$ lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của $\left( {{P_1}} \right)$, $\left( {{P_2}} \right)$; ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt là giá của hai vectơ $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ (Hình 33). So sánh:

a) $\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right)$ và $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$;

b) $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$ và $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Nếu vectơ $\overrightarrow n$ khác $\overrightarrow 0$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\overrightarrow n$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Sử dụng kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng để chứng minh: Cho đường thẳng $\Delta$ và vectơ $\overrightarrow u$ khác $\overrightarrow 0$. Vectơ $\overrightarrow u$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\overrightarrow u$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì ${\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right)$ nên đường thẳng ${\Delta _1}$ nhận một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}$ của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Vì ${\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)$ nên đường thẳng ${\Delta _2}$ nhận một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}}$ của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Do đó, góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$.

Vậy $\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$.

b) Ta có:$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|$.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {A;B;C} \right)$. Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$, $\left( {{P_2}} \right)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$, $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)$. Khi đó, ta có: $\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$; mặt phẳng (Oxz) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)$; mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)$

Do đó, $\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.A + 0.B + 1.C} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| C \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$;

$\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.A + 1.B + 0.C} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| B \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$;

$\cos \left( {\left( {Oyz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.A + 0.B + 0.C} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| A \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$.