Giải mục 3 trang 13, 14, 15 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 13 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Thực hiện các bước sau để giải phương trình: $2{x^2} - 8x + 3 = 0$.

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ${x^2}$.

c) Thêm vào hai vế của phương trình nhận được ở câu b với cùng một số để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó tìm nghiệm x.

Phương pháp giải:

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình $2{x^2} - 8x =  - 3$.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ${x^2}$ ta được: ${x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}$.

c) Các bước giải phương trình:

+ Bước 1: Cộng thêm 4 vào 2 vế để đưa phương trình về dạng: ${A^2} = B\left( {B \ge 0} \right)$.

+ Bước 2: Nếu ${A^2} = B\left( {B \ge 0} \right)$ thì $A = \sqrt B$ hoặc $A =  - \sqrt B$. Giải các phương trình đó và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Chuyển hạng tử tự do của phương trình sang vế phải ta được phương trình $2{x^2} - 8x =  - 3$.

b) Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số của ${x^2}$ ta được: ${x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}$.

c) ${x^2} - 4x = \frac{{ - 3}}{2}$

${x^2} - 4x + 4 = \frac{{ - 3}}{2} + 4$

${\left( {x - 2} \right)^2} = \frac{5}{2}$

$x - 2 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}$ hoặc $x - 2 =  - \frac{{\sqrt {10} }}{2}$

$x = 2 + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$          $x = 2 - \frac{{\sqrt {10} }}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 2 + \frac{{\sqrt {10} }}{2}$; $x = 2 - \frac{{\sqrt {10} }}{2}$.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Áp dụng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) $2{x^2} - 5x + 1 = 0$;

b) ${x^2} + 8x + 16 = 0$;

c) ${x^2} - x + 1 = 0$.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$. Tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

+ Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$.

+ Nếu $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$.

+ Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.1 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = \frac{{5 + \sqrt {17} }}{4};{x_2} = \frac{{5 - \sqrt {17} }}{4}$

b) Ta có: $\Delta  = {8^2} - 4.1.16 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép:${x_1} = {x_2} = \frac{{ - 8}}{2} =  - 4$

c) Ta có: $\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 =  - 3 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

TTN

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ trang 14 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Pi hỏi: Có thể nói gì về nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ nếu a và c trái dấu?

Em hãy trả lời câu hỏi của anh Pi.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có: $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Nếu a và c trái dấu thì tích $ac < 0$. Từ đó, xét dấu của biệt thức $\Delta$. Do đó, kết luận được số nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$.

Lời giải chi tiết:

Vì a và c trái dấu thì tích $ac < 0$, suy ra: $- ac > 0$.

Do đó, $\Delta  = {b^2} - 4ac > 0$. Suy ra, phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy nếu a và c trái dấu thì phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 15 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình sau:

a) $3{x^2} + 8x - 3 = 0$;

b) ${x^2} + 6\sqrt 2 x + 2 = 0$.

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$, với $b = 2b'$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $a = 3,b' = 4,c =  - 3$ và $\Delta ' = {4^2} - 3.\left( { - 3} \right) = 25 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - 4 + \sqrt {25} }}{3} = \frac{1}{3};{x_2} = \frac{{ - 4 - \sqrt {25} }}{3} =  - 3$.

b) Ta có: $a = 1,b' = 3\sqrt 2 ,c = 2$ và $\Delta ' = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} - 1.2 = 16 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} =  - 3\sqrt 2  + 4;{x_2} =  - 3\sqrt 2  - 4$

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 15 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Tình huống mở đầu: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có kích thước 28m x 16m, người ta dự định làm một bể bơi có đường đi xung quanh (H.6.9). Hỏi bề rộng của đường đi là bao nhiêu để diện tích của bể bơi là $288{m^2}$?

Phương pháp giải:

- Giải phương trình đã lập được ở HĐ3 để tìm x:

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$, với $b = 2b'$ và $\Delta ' = b{'^2} - ac$

+ Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt {\Delta '} }}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$.

+ Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Đối chiếu x vừa tìm được với điều kiện và đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Theo kết quả của HĐ3 ta có: $4{x^2} - 88x + 160 = 0$

${x^2} - 22x + 40 = 0$

Ta có: $\Delta ' = {11^2} - 1.40 = 81 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{11 + \sqrt{81}}{1} = 20\left( {KTM} \right);{x_2} = \frac{11 - \sqrt{81}}{1}= 2\left( {TM} \right)$

Vậy bề rộng của đường đi là 2m thì diện tích của bể bơi là $288{m^2}$.