Giải bài tập 6 trang 87 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(-3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2; - 4;1} \right)$;

b) (P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3;4;1} \right)$;

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; -7) và song song với mặt phẳng $\left( Q \right):2x + y - z - 3 = 0$;

d) (P) đi qua điểm K(-4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 6}}{5}$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng (P): $2\left( {x + 3} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1.\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y + z + 6 = 0$.

b) Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&{ - 2}\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 3}\\{ - 3}&4\end{array}} \right|} \right) = \left( {5;5; - 5} \right)$.

(P) đi qua điểm N(2; -1; 5) và nhận $\frac{1}{5}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P): $x - 2 + y + 1 - \left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 4 = 0$

c) Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Vì (P) song song với (Q) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow n  = \left( {2;1; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: $2\left( {x - 4} \right) + y - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z - 15 = 0$.

d) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow u  = \left( {2;1;5} \right)$.

Vì (P) vuông góc với đường thẳng $\Delta$ nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow u  = \left( {2;1;5} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là:

$2\left( {x + 4} \right) + y - 9 + 5\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 11 = 0$.