Giải bài tập 8 trang 88 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3;4; - 1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1; - 5;5} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 2;7} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 13;5; - 17} \right)$.

Vì $\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}$, suy ra $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 12;10; - 22} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {26; - 26; - 26} \right)$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 26.\left( { - 12} \right) - 26.10 - 26.\left( { - 22} \right) = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB}$  đồng phẳng. Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3; - 7} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2; - 1;4} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 6; - 9;21} \right)$ đi qua điểm $B\left( { - 10; - 19;45} \right)$

Ta có: $- 3\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 6; - 9;21} \right) = \overrightarrow {{u_2}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 12; - 18;41} \right)$, $\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB}$ không cùng phương. Vậy ${\Delta _1}$ //${\Delta _2}$.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 3;5;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 2;7} \right)$ và đi qua điểm $B\left( { - 13;9; - 13} \right)$.

Ta có: $\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Lại có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 10;4; - 15} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = \left( {13;8; - 7} \right)$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 13.\left( { - 10} \right) + 8.4 - 7.\left( { - 15} \right) = 7 \ne 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB}$ không đồng phẳng. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.