Giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một lò xo có chiều dài tự nhiên là ${l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}$(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo $x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})$ cần một lực có độ lớn $f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})$, trong đó $k$ là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b).

a) Tìm $k$, biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là ${l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}$.

b) Nếu một lực có độ lớn $f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})$ làm biến dạng lò xo từ độ giãn $a{\mkern 1mu} ({\rm{m}})$ đến $b{\mkern 1mu} ({\rm{m}})$ thì công của lực đó được cho bởi công thức $A = \int_a^b f (x){\mkern 1mu} dx$(J). Tính công của một lực làm lò xo biến dạng từ chiều dài 15 cm đến 18 cm.

Lời giải chi tiết

a)

- Độ giãn của lò xo khi chịu lực 40 N là:

$x = {l_1} - {l_0} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

- Áp dụng định luật Hooke $f(x) = kx$, ta có:

$40 = k \times 0.05$

Suy ra độ cứng của lò xo $k$:

$k = \frac{{40}}{{0.05}} = 800{\mkern 1mu} {\rm{N/m}}$

b)

- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 15 cm:

${x_1} = {l_1} - {l_0} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 18 cm:                             

${x_2} = {l_2} - {l_0} = 18{\mkern 1mu} {\rm{cm}} - 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 8{\mkern 1mu} {\rm{cm}} = 0.08{\mkern 1mu} {\rm{m}}$

- Công của lực khi lò xo giãn từ ${x_1} = 0.05{\mkern 1mu} {\rm{m}}$ đến ${x_2} = 0.08{\mkern 1mu} {\rm{m}}$:

$A = \int_{0.05}^{0.08} k x{\mkern 1mu} dx$

Thay $k = 800{\mkern 1mu} {\rm{N/m}}$ vào:

$A = 800\int_{0.05}^{0.08} x {\mkern 1mu} dx$

Tính tích phân:

$A = 800\left[ {\frac{{{x^2}}}{2}} \right]_{0.05}^{0.08}$

$A = 800\left( {\frac{{{{0.08}^2}}}{2} - \frac{{{{0.05}^2}}}{2}} \right)$

$A = 800 \times \frac{{(0.0064 - 0.0025)}}{2}$

$A = 800 \times \frac{{0.0039}}{2} = 800 \times 0.00195 = 1.56{\mkern 1mu} {\rm{J}}$

Vậy công của lực làm lò xo giãn từ 15 cm đến 18 cm là $1.56{\mkern 1mu} {\rm{J}}$.