Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx$;

b) $\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx$;

c) $\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx$;

d) $\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx$;

e) $\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx$;

g) $\int_1^4 | 5 - 3x|dx$.

Lời giải chi tiết

a)

$\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = \int_{ - 1}^2 {({x^2} + x)} dx = \int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx + \int_{ - 1}^2 x dx$

Tính từng phần:

$\int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3,$

$\int_{ - 1}^2 x dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$

Kết quả:

$\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.$

b)

Sử dụng công thức hạ bậc:

${\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}.$

Tính tích phân:

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx} \right).$

Tính từng phần:

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx = \frac{\pi }{2},\quad \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx = \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 0 = 1.$

Kết quả:

$\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{\pi  + 2}}{4}.$

c)

Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:

$\int {{a^{bx}}} dx = \frac{{{a^{bx}}}}{{b\ln a}}.$

Tính tích phân:

$\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \int_1^2 2  \cdot {2^{ - 3x}}dx = 2\int_1^2 {{2^{ - 3x}}} dx.$

Áp dụng công thức:

$2\int {{2^{ - 3x}}} dx = 2 \cdot \frac{{{2^{ - 3x}}}}{{ - 3\ln 2}} =  - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}.$

Thay cận:

$- \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}|_1^2 =  - \frac{{{2^{ - 5}}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{2^{ - 2}}}}{{3\ln 2}} = \frac{1}{{3\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right) = \frac{1}{{3\ln 2}} \cdot \frac{7}{{32}}.$

Kết quả:

$\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \frac{7}{{96\ln 2}}.$

d)

Sử dụng công thức: 

${\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1.$

Tính tích phân:

$\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx.$

Tính từng phần:

$\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - 0 = 1,$

$\int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx = \frac{\pi }{4}.$

Kết quả:

$\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = 1 - \frac{\pi }{4}.$

e)

Chia thành hai tích phân:

$\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{e^{2x + 1}}} dx - 3\int_1^4 x \sqrt x dx.$

Tính từng phần:

- Với ${e^{2x + 1}}$, đặt $u = 2x + 1$, $du = 2dx$, ta có:

$\int {{e^{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{{{e^u}}}{2}}  = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}.$

Thay cận:

$\frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}|_1^4 = \frac{{{e^9}}}{2} - \frac{{{e^3}}}{2}.$

- Với $x\sqrt x  = {x^{3/2}}$, ta có:

$\int {{x^{3/2}}} dx = \frac{2}{5}{x^{5/2}}.$

Thay cận:

$\frac{2}{5}{x^{5/2}}|_1^4 = \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{{62}}{5}.$

Kết quả:

$\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \frac{{{e^9} - {e^3}}}{2} - \frac{{186}}{5}.$

g)

Tìm điểm đổi dấu:

$5 - 3x = 0\quad {\rm{khi}}\quad x = \frac{5}{3}.$

Chia khoảng tích phân:

$\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx + \int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx.$

Tính tích phân trên đoạn $[1,\frac{5}{3}]$:

$\int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx = 5x - \frac{{3{x^2}}}{2}|_1^{\frac{5}{3}} = \frac{{25}}{3} - \frac{{25}}{6} - \left( {5 - \frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3}.$

Tính tích phân trên đoạn $[\frac{5}{3},4]$:

$\int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - 5x|_{\frac{5}{3}}^4 = 4 - \left( { - \frac{{25}}{6}} \right) = \frac{{49}}{6}.$

Kết quả cuối cùng:

$\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \frac{2}{3} + \frac{{49}}{6} = \frac{{53}}{6}.$