Giải bài tập 4 trang 21 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho phương trình ${x^2} - 19x - 5 = 0$. Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức:

a) A = ${x_1}^2 + {x_2}^2$

b) B = $\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}}$

c) C = $\frac{3}{{{x_1} + 2}} + \frac{3}{{{x_2} + 2}}$

Lời giải chi tiết

Phương trình ${x^2} - 19x - 5 = 0$ có $\Delta  = {( - 19)^2} - 4.( - 5) = 381 > 0$ nên nó có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = 19$;${x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 5$

a) Ta có: ${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2$

Suy ra

$A ={x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {19^2} - 2.( - 5) = 371$

b) Ta có:

$B =\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}} \\= \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}= \frac{{2.19}}{{ - 5}} =  - \frac{{38}}{5}$

c) Ta có: $C =\frac{3}{{{x_1} + 2}} + \frac{3}{{{x_2} + 2}} = \frac{{3.\left( {{x_2} + 2 + {x_1} + 2} \right)}}{{\left( {{x_1} + 2} \right).\left( {{x_2} + 2} \right)}}$

$= \frac{{3.\left( {{x_2} + {x_1} + 4} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 2({x_2} + {x_1}) + 4}} = \frac{{3.\left( {19 + 4} \right)}}{{ - 5 + 2.19 + 4}} = \frac{{69}}{{37}}$.