Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;$

b) $\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;$

c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .$

Lời giải chi tiết

Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh $a$.

a) Tính $\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH}$:

- $|\overrightarrow {BC} | = a$

- $|\overrightarrow {AH} | = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

- Góc giữa $\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {AH}$ là ${45^^\circ }$ vì $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}$ mà $\widehat {\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AH} } \right)} = 45^\circ$

Do đó:

$\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {AH}  = |\overrightarrow {BC} | \cdot |\overrightarrow {AH} | \cdot \cos {45^\circ } = a \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }} = {a^2}$

b) Tính $\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG}$:

- $|\overrightarrow {AF} | = a\sqrt 2$

- $|\overrightarrow {EG} | = a\sqrt 2$

- Góc giữa $\overrightarrow {AF}$ và $\overrightarrow {EG}$ là ${60^\circ }$ vì $\overrightarrow {EG}  = \overrightarrow {AC}$ mà tam giác ACF đều.

Do đó:

$\overrightarrow {AF}  \cdot \overrightarrow {EG}  = |\overrightarrow {AF} | \cdot |\overrightarrow {EG} | \cdot \cos {60^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a\sqrt 2  \cdot \frac{1}{2} = {a^2}$

c) Tính $\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}$:

- $|\overrightarrow {AC} | = a\sqrt 2$

- $|\overrightarrow {FE} | = a$

- Góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {FE}$ là ${135^\circ }$ vì góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và vectơ đối của $\overrightarrow {FE}$ là $\overrightarrow {EF}$ là $45^\circ$ mà $\widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {EF} } \right)} + \widehat {\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {FE} } \right)} = 180^\circ$

Do đó:

$\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = |\overrightarrow {AC} | \cdot |\overrightarrow {FE} | \cdot \cos {135^\circ } = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \cos {135^\circ }$

Vì $\cos {135^\circ } =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, ta có:

$\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {FE}  = a\sqrt 2  \cdot a \cdot \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) =  - {a^2}$