Giải bài tập 2.12 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Người ta treo một vật trang trí $O$ có khối lượng $m = 2{\mkern 1mu} {\rm{kg}}$ trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm $A$, $B$ và $C$. Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi $\overrightarrow {{T_1}}$, $\overrightarrow {{T_2}}$ và $\overrightarrow {{T_3}}$ lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại $A$, $B$ và $C$. Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng trường $g$ là $10{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$.

a) Tính cường độ của hợp lực.

b) Tính cường độ của lực căng trên mỗi dây.

Lời giải chi tiết

a) Hệ lực đang cân bằng, ta có: $\overrightarrow {{T_1}}  + \overrightarrow {{T_2}}  + \overrightarrow {{T_3}}  + \vec P = \overrightarrow 0$.

Do đó, cường độ của hợp lực bằng 0.

b) Trọng lực tác dụng lên vật O: $P = m \cdot g = 2 \cdot 10 = 20{\mkern 1mu} {\rm{N}}$.

Giả sử các lực căng dây có độ lớn bằng nhau $T = |\overrightarrow {{T_1}} | = |\overrightarrow {{T_2}} | = |\overrightarrow {{T_3}} |$, ta có: ${T_{12}} = \sqrt {2{T^2} + 2.{T^2}.\cos 60^\circ }  = T\sqrt 3$ ($\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ$ vì các mặt bên là tam giác đều)

${T_{hl}} = \sqrt {{T_{12}}^2 + {T_3}^2 + 2.{T_{12}}.{T_3}.\cos \alpha }  = \sqrt {3{T^2} + {T^2} + 2.\sqrt 3 T.T.\frac{{\sqrt 3 }}{3}}  = T\sqrt 6$ (giá của $\overrightarrow {{T_{12}}}$ chính là đường trung tuyến của tam giác chứa ${T_1},{T_2}$. Áp dụng định lý Cosin vào tam giác có chứa giá của $\overrightarrow {{T_{12}}}$, $\overrightarrow {{T_3}}$ và đường trung tuyến của tam giác đáy để tìm góc giữa $\overrightarrow {{T_{12}}}$$\overrightarrow {{T_3}}$).

Mà: ${T_{hl}} = P = 20$.

Suy ra: $T = \frac{{20}}{{\sqrt 6 }} \approx 8,16$.

Vậy cường độ của lực căng trên mỗi dây là $8,16{\rm{N}}$.