Giải bài 9.53 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng $CM \bot DN$.

b) Biết $AB = 4cm,$ hãy tính diện tích tam giác ONC.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA = 4cm$ và $\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDA} = {90^0}$

Vì M là trung điểm của AB nên $AM = MB = \frac{1}{2}AB$

Vì N là trung điểm của BC nên $NB = NC = \frac{1}{2}BC$

Mà $AB = BC$ nên $AM = MB = NB = NC$

Tam giác CBM và tam giác DCN có:

$\widehat B = \widehat {NCD} = {90^0},MB = NC\left( {cmt} \right),BC = CD\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta CBM = \Delta DCN\left( {c - g - c} \right)$. Suy ra $\widehat {BMC} = \widehat {DNC}$

Mà $\widehat {BMC} + \widehat {MCB} = {90^0}$ nên $\widehat {DNC} + \widehat {MCN} = {90^0}$

Tam giác CON có: $\widehat {DNC} + \widehat {MCN} = {90^0}$ nên $\widehat {NOC} = {90^0}$. Do đó, $CM \bot DN$ tại O

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có: $N{D^2} = N{C^2} + C{D^2} = 5N{C^2}.$

Do đó, $\frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Tam giác NOC và tam giác CND có:$\widehat {NOC} = \widehat {NCD} = {90^0},\widehat {ONC}\;chung$

Do đó, $\Delta ONC\backsim \Delta CND\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{ON}}{{CN}} = \frac{{OC}}{{CD}} = \frac{{NC}}{{ND}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Vậy diện tích tam giác ONC là:$\frac{1}{2}OC.ON = \frac{1}{5}\frac{{CN.CD}}{2} = 0,8\left( {c{m^2}} \right)$