Giải bài 9.49 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANP\backsim \Delta HBA$ và $\Delta MCN\backsim \Delta MPB$;

b) $\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1$

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^0}$

Mà $\widehat {BAC} + \widehat {PAN} = {180^0}$ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {PAN} = {90^0}$

Vì $AH \bot BC$ (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}$

Vì $MN \bot BC$ nên $\widehat {NMC} = \widehat {NMB} = {90^0}$

Vì $MN \bot BC$, $AH \bot BC$ nên MN//AH

Do đó, $\widehat P = \widehat {HAB}$ (hai góc đồng vị)

Tam giác ANP và tam giác HBA có:

$\widehat {NAP} = \widehat {AHB} = {90^0},$$\widehat P = \widehat {HAB}$ (cmt)

Do đó, $\Delta ANP\backsim \Delta HBA\left( g-g \right)$

Tam giác MCN và tam giác MPB có:

$\widehat {NMC} = \widehat {NMB} = {90^0},\widehat C = \widehat P$ (cùng phụ với góc B)

Do đó, $\Delta MCN\backsim \Delta MPB\left( g-g \right)$

b) Ta có: $\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{MC}}$

Tam giác PMB có: PM//AH nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{MB}}{{MH}} = \frac{{PB}}{{PA}}$, suy ra $\frac{{MB}}{{PB}} = \frac{{MH}}{{PA}}$

Tam giác AHC có: MN//AH nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MC}}{{MH}}$

Do đó: $\frac{{MB}}{{PB}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{PA}}.\frac{{MC}}{{MH}}.\frac{{PA}}{{MC}} = 1$