Giải bài 9.49 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANP\backsim \Delta HBA$ và $\Delta MCN\backsim \Delta MPB$;

b) \(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1\)

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {BAC} + \widehat {PAN} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Do đó \(\widehat {PAN} = {90^0}\)

Vì \(AH \bot BC\) (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

Vì \(MN \bot BC\) nên \(\widehat {NMC} = \widehat {NMB} = {90^0}\)

Vì \(MN \bot BC\), \(AH \bot BC\) nên MN//AH

Do đó, \(\widehat P = \widehat {HAB}\) (hai góc đồng vị)

Tam giác ANP và tam giác HBA có:

\(\widehat {NAP} = \widehat {AHB} = {90^0},\)\(\widehat P = \widehat {HAB}\) (cmt)

Do đó, $\Delta ANP\backsim \Delta HBA\left( g-g \right)$

Tam giác MCN và tam giác MPB có:

\(\widehat {NMC} = \widehat {NMB} = {90^0},\widehat C = \widehat P\) (cùng phụ với góc B)

Do đó, $\Delta MCN\backsim \Delta MPB\left( g-g \right)$

b) Ta có: \(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{MB}}{{PB}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{MC}}\)

Tam giác PMB có: PM//AH nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{MB}}{{MH}} = \frac{{PB}}{{PA}}\), suy ra \(\frac{{MB}}{{PB}} = \frac{{MH}}{{PA}}\)

Tam giác AHC có: MN//AH nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{NC}}{{NA}} = \frac{{MC}}{{MH}}\)

Do đó: \(\frac{{MB}}{{PB}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{PA}}.\frac{{MC}}{{MH}}.\frac{{PA}}{{MC}} = 1\)