Giải bài 9.52 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) $B{C^2} + 3B{A^2} = 4B{M^2}$ và $B'C{'^2} + 3B'A{'^2} = 4B'M{'^2}$;

b) Nếu $\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}$ thì $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có: $B{M^2} = A{B^2} + A{M^2}$

Do đó, $4B{M^2} = 4\left( {A{B^2} + A{M^2}} \right) = 4A{B^2} + A{C^2} = 3A{B^2} + B{C^2}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có: $B'C{'^2} = A'B{'^2} + A'C{'^2}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’M’ vuông tại A’: $B'M{'^2} = A'B{'^2} + A'M{'^2}$

Do đó, $4B'M{'^2} = 4\left( {A'B{'^2} + A'M{'^2}} \right) = 4A'B{'^2} + A'C{'^2} = 3A'B{'^2} + B'C{'^2}$

b) Giả sử $\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}$. Theo phần a ta có: $\frac{{B{C^2}}}{{B{M^2}}} + 3\frac{{B{A^2}}}{{B{M^2}}} = 4 = \frac{{B'C{'^2}}}{{B'M{'^2}}} + 3\frac{{B'A{'^2}}}{{B'M{'^2}}}$

Suy ra: $\frac{{B{A^2}}}{{B{M^2}}} = \frac{{B'A{'^2}}}{{B'M{'^2}}}\;hay\;\frac{{BA}}{{BM}} = \frac{{B'A'}}{{B'M'}}$

Do đó, $\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{BM}}{{B'M'}} = \frac{{BA}}{{B'A'}}$

Lại có: $\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'} = {90^0}$ nên $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'\left( ch-cgv \right)$