Giải bài 9.51 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) $AM.AB = A{H^2}$ và $AM.AB = AN.AC$

b) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^0}$

Vì $AH \bot BC$ (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}$

Vì $HM \bot AB$ nên $\widehat {HMA} = \widehat {HMB} = {90^0}$

Vì $HN \bot AC$ nên $\widehat {HNA} = \widehat {HNC} = {90^0}$

Tam giác AMH và tam giác AHB có:

$\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {HAB}\;chung$

Do đó, $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên $AM.AB = A{H^2}$ (1)

Tam giác ANH và tam giác AHC có:

$\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {HAC}\;chung$

Do đó, $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên $AN.AC = A{H^2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $AM.AB = AN.AC$

b) Theo phần a ta có: $AM.AB = AN.AC$ nên $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$

Tam giác AMN và tam giác ACB có: $\widehat {BAC}\;chung,\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}$

Do đó, $\Delta AMN\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$