Giải bài 8 trang 102 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Một nhóm học sinh gồm 4 bạn nữ và một số bạn nam. Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm. Biết rằng xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là $\frac{1}{3}$. Tính xác suất của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính”.

Lời giải chi tiết

Gọi số bạn nam là n (bạn, n là số tự nhiên). Nhóm học sinh đó có $n + 4$ (bạn)

Không gian mẫu “Chọn ra ngẫu nhiên 2 bạn từ nhóm”

Số phần tử của không gian mẫu là: $C_{n + 4}^2$

Số kết quả thuận lợi của biến cố “2 bạn được chọn đều là nam” là: $C_n^2$

Xác suất của biến cố “2 bạn được chọn đều là nam” là: $\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}}$

Vì xác suất để 2 bạn được chọn đều là nam là $\frac{1}{3}$ nên ta có:

$\frac{{C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}:\frac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 4 - 2} \right)!}} = \frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n = {n^2} + 7n + 12$ $\Leftrightarrow 2{n^2} - 10n - 12 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\left( {TM} \right)\\n =  - 1\left( L \right)\end{array} \right.$

Số kết quả thuận lợi của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính” là: $C_4^2 + C_n^2$

Xác suất của biến cố “Cả 2 bạn được chọn có cùng giới tính” là: $\frac{{C_4^2 + C_n^2}}{{C_{n + 4}^2}} = \frac{{C_4^2 + C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}$