Giải bài 3 trang 34 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) ${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$;

b) ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) = {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) ${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - {\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)$ $= \left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{8}} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right)} \right]$

 $= 2\sin \frac{\pi }{8}\cos x.2\sin x\cos \frac{\pi }{8}$ $= 2\sin \frac{\pi }{4}\cos x\sin x$ $= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin 2x$

b) ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$

 $\Leftrightarrow 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x - {\sin ^2}y$

Ta có: $2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right) - {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$ $= \cos \left( {x - y} \right)\left[ {2\cos x\cos y - \cos \left( {x - y} \right)} \right]$

 $= \cos \left( {x - y} \right)\left( {\cos x\cos y - \sin x\sin y} \right)$ $= \cos \left( {x - y} \right)\cos \left( {x + y} \right)$

 $= \frac{1}{2}\left( {\cos 2x + \cos 2y} \right)$ $= \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}y + 2{{\cos }^2}x - 1} \right)$ $= {\cos ^2}x - {\sin ^2}y$

Vậy ${\sin ^2}y + 2\cos x\cos y\cos \left( {x - y} \right)$ $= {\cos ^2}x + {\cos ^2}\left( {x - y} \right)$