Giải bài 13 trang 63 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {0;1;1} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( {4;3;5} \right)\).

a) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2;4} \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;4;1} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;4} \right)\).

d) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1;1} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2;4} \right)\). Vậy a) đúng.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.4 - 1.2;4.1 - 3.4;3.2 - 1.4} \right) = \left( {2; - 8;2} \right) = 2\left( {1; - 4;1} \right)\).

Vậy \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Vậy b) sai.

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;1;1} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)\) là:

\(1\left( {x - 0} \right) - 4\left( {y - 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + z + 3 = 0\).

Ta có: \(1 - 4.2 + 4 + 3 = 0\). Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;4} \right)\). Vậy c) đúng.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 4;1} \right)\).

Đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 4;1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n  = \overrightarrow u \) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\). Vậy d) đúng.

a) Đ.

b) S.

c) Đ.

d) Đ.