Giải bài 1 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\);

b) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}\);

c) \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) + 3}}{{n + 3}} = 2 + \frac{3}{{n + 3}}\), suy ra \(2 < {u_n} < 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 9}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 11}}{{n + 4}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 11} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n + 9} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{2{n^2} + 17n + 33 - 2{n^2} - 17n - 36}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} < 0\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có: \(0 < \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}}} = \frac{{\sqrt {2\;024 + n} }}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!{2^n}}}{{n!{2^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1}}{2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Suy ra, \({u_{n + 1}} \ge {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Lại có: \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}} > 0\;\forall n \in \mathbb{N}*\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.