Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức - Đề số 9Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 8 tất cả các môn - Kết nối tri thức Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3 điểm) Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.Đề bài
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Phân thức \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}\) là phân thức nghịch đảo của:
Câu 2 :
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 3}}{{2 + x}}\) là
Câu 3 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là
Câu 4 :
Kết quả của phép tính \(\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}\) bằng
Câu 5 :
Tích của hai phân thức \(\frac{{x(x + 3)}}{{5(x - 3)}}\) và \(\frac{{2(x - 3)}}{{{{(x + 3)}^2}}}\) bằng
Câu 6 :
Trong đẳng thức \(\frac{{{x^2} + x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{x + 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{Q}\). Khi đó đa thức Q là
Câu 7 :
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ theo tỉ số đồng dạng \(k = 3\). Kết luận nào sau đây đủng?
Câu 8 :
Cho hình vẽ, biết \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}\). Hãy cho biết hai tam giác nào đồng dạng?
Câu 9 :
Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây (như hình vẽ). Biết cọc cao 1,5m so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 8m và cách bóng của đỉnh cọc 2m. Khi đó, chiều cao AB của cây là:
Câu 10 :
Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Biết chu vi tứ giác đó là \(52\;{\rm{cm}}\) và một đường chéo là \(10\;{\rm{cm}}\). Độ dài đường chéo còn lại là
Câu 11 :
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số đồng dạng là \(k = \frac{2}{5}\) thì $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng là
Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho biểu thức \(A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}\). a) Điều kiện xác định của phân thức A là \(x \ne \frac{1}{2}\).
Đúng
Sai
b) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả \(\frac{{10}}{{2x + 1}}\).
Đúng
Sai
c) Khi \(x = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A = 2\).
Đúng
Sai
d) Các giá trị \(x\) nguyên để A nguyên là \(x \in \left\{ { - 3; - 1;0;2} \right\}\).
Đúng
Sai
Câu 2 :
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC), điểm \(M \in AB\). Đường thẳng DM cắt AC tại K, cắt BC tại N. Cho AB = 10cm, AD = 9cm, AM = 6cm. a) $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$.
Đúng
Sai
b) \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\).
Đúng
Sai
c) \(K{D^2} = KM.MN\).
Đúng
Sai
d) \(CN = 10cm\).
Đúng
Sai
Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Thí sinh trả lời câu hỏi từ câu 1 đến câu 4
Câu 1 :
Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) khi \(\left| {x - 2} \right| = 1\). Đáp án:
Câu 2 :
Một con thuyền đang neo ở một điểm cách chân tháp hải đăng 180m. Biết tháp hải đăng cao \(25\;{\rm{m}}\). Khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
Đáp án:
Câu 3 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB = 12cm,AC = 16cm\). Đường cao AH. Độ dài đoạn thẳng AH là …cm. (viết dưới dạng số thập phân) Đáp án:
Câu 4 :
Giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}\) là Đáp án:
Phần IV. Tự luận
Lời giải và đáp án
Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Phân thức \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}\) là phân thức nghịch đảo của:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Hai phân thức nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Lời giải chi tiết :
Vì \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}.\frac{{2x - y}}{{x + 1}} = 1\) nên phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{{x + 1}}{{2x - y}}\) là \(\frac{{2x - y}}{{x + 1}}\). Đáp án C
Câu 2 :
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 3}}{{2 + x}}\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phân thức \(\frac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\). Lời giải chi tiết :
Điều kiện xác định của phân thức \(\frac{{x - 3}}{{2 + x}}\) là \(2 + x \ne 0\) hay \(x \ne - 2\). Đáp án C
Câu 3 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định sai là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất của phân thức đại số: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác 0) \(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một nhân tử chung) \(\frac{A}{B} = \frac{{ - A}}{{ - B}}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{{5{x^2}y}}{{x{y^2}}} = \frac{{5{x^2}y:xy}}{{x{y^2}:xy}} = \frac{{5x}}{y}\) nên A đúng. \(\frac{{{x^3} - 8}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = {x^2} + 2x + 4\) nên B đúng. \(\frac{{x - 5}}{{2 - x}} = \frac{{ - \left( {x - 5} \right)}}{{ - \left( {2 - x} \right)}} = \frac{{5 - x}}{{x - 2}}\) nên C đúng. \(\frac{{3 - x}}{{x + 2}} = \frac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{ - \left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{ - x - 2}} \ne \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\) nên D sai. Đáp án D
Câu 4 :
Kết quả của phép tính \(\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Nhóm các phân thức cùng mẫu vào để cộng phân thức cùng mẫu: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\) Sau đó cộng các phân thức khác mẫu vừa tính được: \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{{AD + BC}}{{BD}}\) Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}\\ = \left( {\frac{{x - 1}}{{xy}} + \frac{1}{{xy}}} \right) + \left( {\frac{1}{{yz}} + \frac{{y - 1}}{{yz}}} \right)\\ = \frac{{x - 1 + 1}}{{xy}} + \frac{{1 + y - 1}}{{yz}}\\ = \frac{x}{{xy}} + \frac{y}{{yz}}\\ = \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\\ = \frac{{y + z}}{{yz}}\end{array}\) Đáp án D
Câu 5 :
Tích của hai phân thức \(\frac{{x(x + 3)}}{{5(x - 3)}}\) và \(\frac{{2(x - 3)}}{{{{(x + 3)}^2}}}\) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc nhân phân thức: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{AC}}{{BD}}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\frac{{x(x + 3)}}{{5(x - 3)}}.\frac{{2(x - 3)}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{5\left( {x - 3} \right){{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{2x}}{{5\left( {x + 3} \right)}}\) Đáp án C
Câu 6 :
Trong đẳng thức \(\frac{{{x^2} + x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{x + 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{Q}\). Khi đó đa thức Q là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc chia phân thức để tính vế trái. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\\ = \frac{{x\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{x}{{2x + 1}} = \frac{x}{Q}\end{array}\) Suy ra \(Q = 2x + 1\). Đáp án D
Câu 7 :
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ theo tỉ số đồng dạng \(k = 3\). Kết luận nào sau đây đủng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
$\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ theo hệ số tỉ lệ k thì \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k\). Lời giải chi tiết :
$\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ theo tỉ số đồng dạng \(k = 3\) nên \(\frac{{AB}}{{XY}} = 3\). Do đó \(AB = 3XY\). Đáp án A
Câu 8 :
Cho hình vẽ, biết \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}\). Hãy cho biết hai tam giác nào đồng dạng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nếu \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}}\) thì $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ (c.c.c). Lời giải chi tiết :
Vì \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2}\) nên $\Delta ADB\backsim \Delta DBC\left( c.c.c \right)$, Đáp án B
Câu 9 :
Một người cắm một cái cọc vuông góc với mặt đất sao cho bóng của đỉnh cọc trùng với bóng của ngọn cây (như hình vẽ). Biết cọc cao 1,5m so với mặt đất, chân cọc cách gốc cây 8m và cách bóng của đỉnh cọc 2m. Khi đó, chiều cao AB của cây là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. Lời giải chi tiết :
Vì cây và cọc cùng vuông góc với mặt đất nên \(DC//AB\). Do đó $\Delta ABE\backsim \Delta CDE$ (định lí tam giác đồng dạng) Suy ra \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) nên \(AB = \frac{{AE.CD}}{{CE}} = \frac{{\left( {AC + CE} \right).CD}}{{CE}} = \frac{{\left( {8 + 2} \right).1,5}}{2} = 7,5\) Vậy chiều cao AB của cây là 7,5m. Đáp án B
Câu 10 :
Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Biết chu vi tứ giác đó là \(52\;{\rm{cm}}\) và một đường chéo là \(10\;{\rm{cm}}\). Độ dài đường chéo còn lại là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Chứng minh tứ giác là hình thoi. Từ chu vi hình thoi suy ra cạnh = chu vi : 4. Sử dụng định lí Pythagore để tính đường chéo còn lại. Lời giải chi tiết :
Vì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên ABCD là hình thoi. Độ dài cạnh của hình thoi ABCD là: \(AB = 52:4 = 13\left( {cm} \right)\) Giả sử đường chéo \(BD = 10cm\) và O là giao điểm của hai đường chéo thì \(BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}.10 = 5\left( {cm} \right)\) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại O, ta có: \(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\) suy ra \(AO = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}} = 12\left( {cm} \right)\) Do O là trung điểm của AC nên \(AC = 2AO = 2.12 = 24\left( {cm} \right)\) Đáp án D
Câu 11 :
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số đồng dạng là \(k = \frac{2}{5}\) thì $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ theo tỉ số đồng dạng k thì $\Delta A'B'C'\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\). Lời giải chi tiết :
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số đồng dạng là \(k = \frac{2}{5}\) thì $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ theo tỉ số đồng dạng là \(k' = \frac{5}{2}\). Đáp án D
Đáp án : C Phương pháp giải :
Quan sát xem hình nào giống với hình H. Lời giải chi tiết :
Hình đồng dạng với hình H là hình 3. Đáp án C
Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho biểu thức \(A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}\). a) Điều kiện xác định của phân thức A là \(x \ne \frac{1}{2}\).
Đúng
Sai
b) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả \(\frac{{10}}{{2x + 1}}\).
Đúng
Sai
c) Khi \(x = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A = 2\).
Đúng
Sai
d) Các giá trị \(x\) nguyên để A nguyên là \(x \in \left\{ { - 3; - 1;0;2} \right\}\).
Đúng
Sai
Đáp án
a) Điều kiện xác định của phân thức A là \(x \ne \frac{1}{2}\).
Đúng
Sai
b) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả \(\frac{{10}}{{2x + 1}}\).
Đúng
Sai
c) Khi \(x = 2\) thì giá trị của biểu thức \(A = 2\).
Đúng
Sai
d) Các giá trị \(x\) nguyên để A nguyên là \(x \in \left\{ { - 3; - 1;0;2} \right\}\).
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Xác định giá trị của x để mẫu thức khác 0, phân thức chia khác 0. b) Sử dụng quy tắc chia hai phân thức để rút gọn biểu thức A. c) Thay \(x = 2\) vào biểu thức A để tính giá trị của A. d) Để \(A = \frac{k}{{g\left( x \right)}}\,\) nguyên thì \(k \vdots g\left( x \right)\). Lập bảng để tìm các giá trị của x. a) Xác định giá trị của x để mẫu thức khác 0, phân thức chia khác 0. b) Sử dụng quy tắc chia hai phân thức để rút gọn biểu thức A. c) Thay \(x = 2\) vào biểu thức A để tính giá trị của A. d) Để \(A = \frac{k}{{g\left( x \right)}}\,\) nguyên thì \(k \vdots g\left( x \right)\). Lập bảng để tìm các giá trị của x. Lời giải chi tiết :
a) Sai Biểu thức A xác định khi: \(4{x^2} - 1 \ne 0\) và \(10x - 5 \ne 0\) và \(4x \ne 0\) (do \(\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}\) là phân thức chia) +) \(4{x^2} - 1 \ne 0\) \(4{x^2} \ne 1\) \({x^2} \ne \frac{1}{4}\) \(x \ne \pm \frac{1}{2}\) +) \(10x - 5 \ne 0\) \(10x \ne 5\) \(x \ne \frac{1}{2}\) +) \(4x \ne 0\) nên \(x \ne 0\) Vậy điều kiện xác định của phân thức A là \(x \ne \pm \frac{1}{2}\); \(x \ne 0\). b) Đúng Ta có: \(A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}:\frac{{4x}}{{10x - {\rm{ }}5}}\)\(\left( {x \ne \pm \frac{1}{2}} \right)\) \(\begin{array}{l}A = \frac{{8x}}{{4{x^2} - 1}}.\frac{{10x - {\rm{ }}5}}{{4x}}\\A = \frac{{8x\left( {10x - {\rm{ }}5} \right)}}{{4x\left( {4{x^2} - 1} \right)}}\\A = \frac{{40x\left( {2x - {\rm{ 1}}} \right)}}{{4x\left( {2x - {\rm{ 1}}} \right)\left( {2x + {\rm{ 1}}} \right)}}\\A = \frac{{10}}{{2x + 1}}\end{array}\) Vậy \(A = \frac{{10}}{{2x + 1}}\). c) Đúng Thay \(x = 2\) vào A, ta được: \(A = \frac{{10}}{{2.2 + 1}} = \frac{{10}}{5} = 2\) d) Sai Để A nguyên thì \(\frac{{10}}{{2x + 1}}\) nguyên, khi đó \(10 \vdots \left( {2x + 1} \right)\) hay \(\left( {2x + 1} \right) \in \)Ư(10) = \(\left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10} \right\}\). Ta có bảng sau:
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 1;2} \right\}\) thì A nguyên. Đáp án: SĐĐS
Câu 2 :
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC), điểm \(M \in AB\). Đường thẳng DM cắt AC tại K, cắt BC tại N. Cho AB = 10cm, AD = 9cm, AM = 6cm. a) $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$.
Đúng
Sai
b) \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\).
Đúng
Sai
c) \(K{D^2} = KM.MN\).
Đúng
Sai
d) \(CN = 10cm\).
Đúng
Sai
Đáp án
a) $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$.
Đúng
Sai
b) \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\).
Đúng
Sai
c) \(K{D^2} = KM.MN\).
Đúng
Sai
d) \(CN = 10cm\).
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Chứng minh AD // CN. Sử dụng định lí tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng. b) Chứng minh AM // CD. Sử dụng định lí tam giác đồng dạng để chứng minh hai tam giác đồng dạng. Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng bằng nhau. c) Đưa các cạnh về tam giác đồng dạng để kiểm tra. d) Dựa vào tỉ số đồng dạng của hai tam giác để tính NC. Lời giải chi tiết :
a) Đúng Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC. Vì AD // NC (AD // BC) nên $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$ (định lí tam giác đồng dạng) b) Đúng Vì AM // CD (AB // CD) nên $\Delta AKM\backsim \Delta CKD$ (định lí tam giác đồng dạng) Suy ra \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KA}}{{KC}}\) (tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng) (1) c) Sai Từ $\Delta ADK\backsim \Delta CNK$, ta có: \(\frac{{AK}}{{KC}} = \frac{{KD}}{{KN}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{KD}}{{KN}}\) nên \(K{D^2} = KM.KN \ne KM.MN\) nên c sai. d) Sai Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta CND\) có: \(\widehat {AMD} = \widehat {NDC}\) (2 góc so le trong) \(\widehat {ADM} = \widehat {DNC}\) (2 góc so le trong) nên $\Delta ADM\backsim \Delta CND\left( g.g \right)$, Suy ra \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{CD}}{{CN}}\). Vì ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 10cm. Do đó \(CN = \frac{{CD.AD}}{{AM}} = \frac{{10.9}}{6} = 15\left( {cm} \right)\) Đáp án: ĐĐSS
Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn
Thí sinh trả lời câu hỏi từ câu 1 đến câu 4
Câu 1 :
Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\) khi \(\left| {x - 2} \right| = 1\). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Tính giá trị của x thoả mãn \(\left| {x - 2} \right| = 1\), kiểm tra với điều kiện xác định của B. Sau đó thay x tìm được vào B. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ của B là: \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne 3\). Ta có: \(\left| {x - 2} \right| = 1\) nên: \(x - 2 = 1\) hoặc \(x - 2 = - 1\) \(x = 3\) (L) hoặc \(x = 1\) (TM) Thay \(x = 1\) vào \(B = \frac{{x + 1}}{{x - 3}}\), ta được: \(B = \frac{{1 + 1}}{{1 - 3}} = - 1\) Đáp án: -1
Câu 2 :
Một con thuyền đang neo ở một điểm cách chân tháp hải đăng 180m. Biết tháp hải đăng cao \(25\;{\rm{m}}\). Khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng định lí Pythagore để tính khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng. Lời giải chi tiết :
Khoảng cách từ thuyền đến đỉnh tháp hải đăng là: \(\sqrt {{{25}^2} + {{180}^2}} = 182\left( m \right)\) Đáp án: 182
Câu 3 :
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB = 12cm,AC = 16cm\). Đường cao AH. Độ dài đoạn thẳng AH là …cm. (viết dưới dạng số thập phân) Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC để tính BC. Chứng minh \(\Delta HBA\backsim \Delta ABC\) \(\left( g-g \right)\) suy ra tỉ số của các cạnh tương ứng để tính AH. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\). Do đó: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \) Hay \(BC = \sqrt {{{12}^2} + {{16}^2}} = \sqrt {144 + 256} = \sqrt {400} = 20cm\). Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {\rm H} = \widehat {\rm A} = 90^\circ \) \(\widehat {\rm B}\) chung nên \(\Delta HBA\backsim \Delta ABC\) \(\left( {g - g} \right)\) Suy ra \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{16.12}}{{20}} = 9,6\left( {cm} \right)\) Đáp án: 9,6
Câu 4 :
Giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}\) là Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Để biểu thức \(D = \frac{k}{{f\left( x \right)}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(f\left( x \right)\) phải đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) để tính giá trị nhỏ nhất của D. Lời giải chi tiết :
Ta có: \( - {x^2} + 2x - 3 = - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = - {\left( {x - 1} \right)^2} - 2 \le - 2\) Để \(D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \( - {x^2} + 2x - 3\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có: \( - {x^2} + 2x - 3 = - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = - {\left( {x - 1} \right)^2} - 2 \le - 2\) Suy ra giá trị lớn nhất của \( - {x^2} + 2x - 3\) là -2. Khi đó \(\frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}} \ge \frac{6}{{ - 2}} = - 3\). Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của \(D = \frac{6}{{ - {x^2} + 2x - 3}}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của D là -3. Đáp án: -3
Phần IV. Tự luận
Phương pháp giải :
a) Sử dụng quy tắc cộng phân thức khác mẫu để rút gọn P. b) Kiểm tra xem \(x = 6\) có thoả mãn điều kiện xác định không. Nếu thoả mãn, thay \(x = 6\) vào P. Lời giải chi tiết :
a) Với \(x \ne \pm 2\), ta có: \(\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{4 - {x^2}}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{x + 2}}{{2 - x}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} + \frac{{6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{ - x - 2 + 6x + 8}}{{x - 2}}\\ = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}\end{array}\) Vậy \(P = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}\) b) Với \(x = 6\) (TMĐK), thay vào biểu thức \(P = \frac{{5x + 6}}{{x - 2}}\), ta được: \(P = \frac{{5.6 + 6}}{{6 - 2}} = \frac{{30 + 6}}{4} = \frac{{36}}{4} = 9\) Vậy \(P = 9\) khi \(x = 6\). Phương pháp giải :
a) Chứng minh \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\), ta được DM // AB (theo định lí Thalès đảo) b) Áp dụng định lí tam giác đồng dạng: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác là song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. c) Áp dụng tỉ số diện tích tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng từ đó tính được \(\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}}\). Lời giải chi tiết :
a) Vì M thuộc đoạn BC nên BM + CM = BC suy ra CM = BC – BM = 15 – 10 = 5 (cm) Ta có: \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{5}{{15}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\) suy ra \(\frac{{CM}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\) nên DM // AB (theo định lí Thalès đảo) b) Vì DM // AB nên $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ (định lí tam giác đồng dạng) c) Vì $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ nên \(\frac{{{S_{\Delta MDC}}}}{{{S_{\Delta BAC}}}} = \frac{{C{D^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{CD}}{{AC}}} \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{12}}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\). Phương pháp giải :
Từ giả thiết \(x + y + z = xyz\) suy ra \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1\). Biến đổi B thành biểu thức chứa \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}\) và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\). Khi đó thay số ta tính được B. Lời giải chi tiết :
Do \(x,y,z \ne 0\) và \(x + y + z = xyz\) nên ta có: \(\begin{array}{l}x + y + z = xyz\\\frac{{x + y + z}}{{xyz}} = 1\\\frac{x}{{xyz}} + \frac{y}{{xyz}} + \frac{z}{{xyz}} = 1\\\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}} = 1\end{array}\). Xét biểu thức: \(B = \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} - 2\left( {\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{zx}}} \right)\) Khi đó: \(B = {3^2} - 2.1 = 9 - 2 = 7\). Vậy \(B = 7\).
|
