Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 4

Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).

Đáp án B.

\(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5 \).

Đáp án A.

Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) và AA’//BB’ nên \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\)

Đáp án B.

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án B.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AI \bot BC\).

Vì tam giác DBC cân tại D nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(DI \bot BC\).

Ta có: \(AI \bot BC\), \(DI \bot BC\), DI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AID) nên \(BC \bot \left( {AID} \right)\). Mà \(AH \subset \left( {ADI} \right) \Rightarrow AH \bot CB\)

Lại có: \(AH \bot DI\), DI và BC cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, \(AH \bot \left( {BCD} \right)\). Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là điểm H.

Đáp án B.

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, \(SO \bot AC\).

Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, \(SO \bot BD\).

Vì \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) và BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Do đó, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm O.

Đáp án C.

Vì K là trọng tâm của tam giác DBC, DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{1}{3}\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(\frac{{MG}}{{MA}} = \frac{1}{3}\)

Tam giác DMA có: \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{MG}}{{MA}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên GK//AD

Mà \(AD \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(GK \bot \left( {ABC} \right)\). Mà \(AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow GK \bot AB\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng \({90^0}\).

Đáp án C.

Điều kiện: \({\log _3}{x^5} \ge m > 0,x > 0\)

\(\left( {{4^x} - {{10.2}^x} + 16} \right)\sqrt {{{\log }_3}{x^5} - m}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^x} - {10.2^x} + 16 = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}{x^5} - m = 0\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (1): \({\left( {{2^x}} \right)^2} - {10.2^x} + 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 2} \right)\left( {{2^x} - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2 = 0\\{2^x} - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vì \(m \in \mathbb{N}*\) nên phương trình (2) luôn có nghiệm \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\). Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì:

+ Trường hợp 1: \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 1 \Rightarrow m = 0\) (loại)

+ Trường hợp 2: \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 2 \Rightarrow {3^{\frac{m}{5}}} = 2 \Rightarrow m = 5{\log _3}2\) (loại)

+ Trường hợp 3: Phương trình đã cho chỉ nhận nghiệm \(x = 3\) của phương trình (1) làm nghiệm, một nghiệm từ (2):

Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}m = 5{\log _3}x,x < 3\\5{\log _3}1 < m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 5\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right.\)

Suy ra, với \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\), \(x = 3\).

Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.