Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba - Đề số 1Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD Đề bài
Câu 1 :
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
Câu 3 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}\) ta được:
Câu 4 :
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 5 :
Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi
Câu 6 :
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
Câu 7 :
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 8 :
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Câu 9 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
Câu 10 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \).
Câu 11 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Câu 12 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4\) là
Câu 13 :
Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.
Câu 14 :
Giá trị biểu thức \(\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} \) khi \(x = \sqrt {3,6} \) là:
Câu 15 :
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12\) là:
Câu 16 :
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
Câu 17 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\) với \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y\) ta được:
Câu 18 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\) ta được:
Câu 19 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Câu 20 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
Câu 21 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}\) là:
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Câu 23 :
Tìm \(x\) biết \(\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4\).
Câu 24 :
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
Câu 25 :
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Câu 2 :
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$. Lời giải chi tiết :
$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$
Câu 3 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}\) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\sqrt[3]{{{a^3}}} = a\) sau đó cộng trừ các số hạng. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2\sqrt[3]{{27{a^3}}} - 3\sqrt[3]{{8{a^3}}} + 4\sqrt[3]{{125{a^3}}}\)\( = 2\sqrt[3]{{{{\left( {3a} \right)}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {2a} \right)}^3}}} + 4\sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}}\) \( = 2.3a - 3.2a + 4.5a = 20a\).
Câu 4 :
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b $.
Câu 5 :
Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$. Lời giải chi tiết :
Ta có $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.
Câu 6 :
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
Đáp án : D Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$. Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $5\sqrt 3 = \sqrt {{5^2}.3} = \sqrt {25.3} = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5 = \sqrt {{4^2}.5} = \sqrt {16.5} = \sqrt {80} $ Vì $75 < 80 \Leftrightarrow \sqrt {75} < \sqrt {80} \Leftrightarrow 5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $
Câu 7 :
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
+) \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\) +) \(\sqrt[3]{{ab}} = \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\) +) Với \(b \ne 0\), ta có \(\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}}\). +)\({\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\) Từ đó D đúng.
Câu 8 :
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $ -Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ Lời giải chi tiết :
Cách giải: $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.
Câu 9 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn). -Cộng trừ các căn thức Lời giải chi tiết :
\(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} \) \(= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0\)
Câu 10 :
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) - Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) - Cộng trừ các căn thức bậc hai. Lời giải chi tiết :
\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} \)\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right| \)\(= \sqrt 2 + \sqrt 5 -\sqrt 5 +\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)
Câu 11 :
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa thừa số vào trong dấu căn +) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$ +) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$ Lời giải chi tiết :
Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.
Câu 12 :
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Phương trình theo dạng \(\sqrt A = B\) - Tìm điều kiện \(B \ge 0\) - Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng \(\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}\) - So sánh điều kiện và kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 4\) Với điều kiện trên ta có: \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 31} = x + 4\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {\left( {x + 4} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 31 = {x^2} + 8x + 16\)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 31 - {x^2} - 8x - 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 5x + 15 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\left( N \right)\\x = 5\left( N \right)\end{array} \right.\) . Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 3;x = 5.\)
Câu 13 :
Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đưa phương trình chứa căn về dạng \(\sqrt A = B\) và sử dụng cách giải \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\). Lời giải chi tiết :
Với $x$ không âm ta có $2\sqrt x - 30 = 0 $ $\Leftrightarrow 2\sqrt x = 30 $ $\Leftrightarrow \sqrt x = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x = 15 $ $\Leftrightarrow x = {15^2} $ $\Leftrightarrow x = 225$ (thỏa mãn). Vậy $x = 225$.
Câu 14 :
Giá trị biểu thức \(\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} \) khi \(x = \sqrt {3,6} \) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} \) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)} = \sqrt {25{x^2} - 9} \) với \(x \ge \dfrac{3}{5}\) Thay \(x = \sqrt {3,6} \) (tm đk \(x \ge \dfrac{3}{5}\)) vào biểu thức ta được: \(\sqrt {25{x^2} - 9} = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9} = \sqrt {81} = 9\).
Câu 15 :
Nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm điều kiện xác định. - Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b \) - Sửdụng công thức khai phương một thương: Với \(a\) không âm và \(b>0\), ta có \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a }{\sqrt b} \) - Nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết. - So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9x - 9 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{64}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\) Với điều kiện trên ta có: \(\dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9{\rm{x}} - 9} + 16\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{64}}} = 12\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {64} }} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{2}\sqrt 9 .\sqrt {x - 1} + 16\dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{8} = 12\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\sqrt {x - 1} - \dfrac{3}{2}.\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6\\ \Leftrightarrow x - 1 = 36\\ \Leftrightarrow x = 37\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 37\).
Câu 16 :
Rút gọn biểu thức \(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \) với \(a,b > 0\) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số \(a,b\) không âm, ta có \(\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b \) - Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương, ta có \(\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\). - Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) Lời giải chi tiết :
\(D = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}\sqrt {\dfrac{b}{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}} \)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{a^2} + 2ab + {b^2}} }} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{\left| {a + b} \right|}} = \dfrac{{2\left( {a + b} \right)}}{{\sqrt b }}.\dfrac{{\sqrt b }}{{a + b}} = 2\) (Vì \(a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0 \Rightarrow \left| {a + b} \right| = a + b\))
Câu 17 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\) với \(x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y\) ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\) ta có: \(\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\); \(\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{4}{{3\sqrt x + 2\sqrt y }}\)\( = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{\left( {3\sqrt x + 2\sqrt y } \right)\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}} = \dfrac{{4\left( {3\sqrt x - 2\sqrt y } \right)}}{{{{\left( {3\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {2\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{12\sqrt x - 8\sqrt y }}{{9x - 4y}}\)
Câu 18 :
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\) ta được:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Trục căn thức ở mẫu theo công thức Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có: \(\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\) - Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}\)\( = \dfrac{{4a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)}} - \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}}\) \( = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right) - a\left( {2 + \sqrt 2 } \right) - a\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\)\( = a\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 - 2 - \sqrt 2 - \sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\) \( = a\left( {\sqrt 7 - 2} \right)\)
Câu 19 :
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
Trục căn thức ở mẫu theo công thức Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}.$
Câu 20 :
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với \(x \ge 0\). So sánh \(A\) với \(2\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Muốn so sánh hai biểu thức \(A\) và \(B\) ta so sánh hiệu \(A - B\) với số \(0\). Nếu \(A - B > 0 \Leftrightarrow A > B\), nếu \(A - B < 0 \Leftrightarrow A < B\) - Khi so sánh với số \(0\) ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh. Lời giải chi tiết :
Ta xét hiệu: \(A - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} - 2 = \dfrac{{2\sqrt x + 1 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) Vì \( - 1 < 0\) và \(\sqrt x \ge 0,\,\forall x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x + 1}} < 0\) hay \(A - 2 < 0 \Leftrightarrow A < 2.\).
Câu 21 :
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\). Giá trị của \(P\) khi \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }}\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức. - Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(x = \dfrac{8}{{3 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{8\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{9 - 5}} = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\left( {tm} \right)\)\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 1\) Khi đó ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 + 1 - 1}} = \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{5}\).
Câu 22 :
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) -Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\) -Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) -Cộng trừ các căn thức bậc hai. Lời giải chi tiết :
Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $ $ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $
Câu 23 :
Tìm \(x\) biết \(\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Áp dụng \(\sqrt[3]{a} > b \Leftrightarrow a > {b^3}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sqrt[3]{{4 - 2x}} > 4 \Leftrightarrow 4 - 2x > {4^3} \Leftrightarrow 4 - 2x > 64 \Leftrightarrow 2x < - 60 \Leftrightarrow x < - 30\).
Câu 24 :
Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)\) + Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) \( = \dfrac{{\left( {\sqrt 6 + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\) \( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}\) \( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\) \( = \sqrt 3 + 1.\) Vậy \(P = \sqrt 3 + 1\) .
Câu 25 :
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: + Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $. + Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$. Lời giải chi tiết :
Theo bất đẳng thức Cô si: $\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$ Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki: \(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}\) $ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $ Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $ Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có: \(\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \) Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\) |