Toán 12 Cánh diều | Giải toán lớp 12 Cánh diều

Lý thuyết Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cánh Diều

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn (left[ {a;b} right]). Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn (left[ {a;b} right]) thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là (intlimits_a^b {f(x)dx} ).

1.Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

$\left[ {a;b} \right]$ . Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn

$\left[ {a;b} \right]$ thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là

$\int\limits_a^b {f(x)dx}$ .

2. Tính chất của tích phân

$\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }$ (k là hằng số)
$\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} }$
$\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} }$
$\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } }$ (a<c<b)

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

Với

$\alpha \ne - 1$ , ta có:

$\int\limits_a^b {{x^\alpha }dx} = \left. {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right|_a^b = \frac{{{b^{\alpha + 1}} - {a^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$

b) Tích phân của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$

Với hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ , ta có:

$\int\limits_a^b {\frac{1}{x}dx = } \left. {\ln \left| x \right|} \right|_a^b = \ln \left| b \right| - \ln \left| a \right|$

c) Tích phân của hàm số lượng giác

$\int\limits_a^b {\sin xdx = - \cos x_a^b} = - \cos b - ( - \cos a) = \cos a - \cos b$
$\int\limits_a^b {\cos xdx = \left. {\sin x} \right|_a^b} = \sin b - \sin a$
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \left. { - \cot x} \right|_a^b} = - \cot b - ( - \cot a) = \cot a - \cot b$
$\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \left. {\tan x} \right|_a^b} = \tan b - \tan a$