Giải bài tập 9 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Ở nhiệt độ $37^\circ C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: $A \to B$. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x \ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y'(x) =  - {7.10^{ - 4}}y(x)$ với $x \ge 0$. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ${L^{ - 1}}$.

a) Xét hàm số $f(x) = \ln y(x)$ với $x \ge 0$. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x)

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx}$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Lời giải chi tiết

a) $f(x) = \ln y(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{{y'(x)}}{{y(x)}} = \frac{{ - {{7.10}^{ - 4}}y(x)}}{{y(x)}} =  - {7.10^{ - 4}}$.

$\Rightarrow f(x) = \int {f'(x)dx}  = \int { - {{7.10}^{ - 4}}dx}  =  - {7.10^{ - 4}}x + C$.

Vì $f(x) = \ln y(x)$ nên $y(x) = {e^{f(x)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + C}}$.

Theo đề bài, tại x = 0 thì y(x) = 0,05 nên:

$y(0) = 0,05 \Leftrightarrow {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.0 + C}} = 0,05 \Leftrightarrow {e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05$.

Vậy $f(x) =  - {7.10^{ - 4}}x + \ln 0,05$.

b) Từ câu a) ta đã tính được $y(x) = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}$.

Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:

$\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y(x)dx}  = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}dx}  = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{e^{\ln 0,05}}dx}$

$= \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}dx}  = \frac{1}{{300}}\int\limits_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}dx}  = \frac{1}{{300}}.\frac{{{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right.$

$= \frac{1}{{300\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}.{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}}} \right) \approx 0,049$ (mol ${L^{ - 1}}$).