Giải bài tập 8 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$;

b) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}$ trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$;

c) $f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$;

d) $f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$

Lời giải chi tiết

a) $f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$

Tìm điểm cực trị: $f'\left( x \right) = 0 \to 6{x^2} - 6 = 0 \to x = - 1, x = 1$

So sánh giá trị hàm số tại các điểm cực trị và hai đầu mút của đoạn:

$f\left( { - 1} \right) = 2{( - 1)^3} - 6\left( { - 1} \right) =  - 2 + 6 = 4$

$f\left( 1 \right) = 2{(1)^3} - 6\left( 1 \right) = 2 - 6 =  - 4$

$f\left( 3 \right) = 2{(3)^3} - 6\left( 3 \right) = 54 - 18 = 36$

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$ là $- 4$ (tại $x = 1$), và GTLN là 36 (tại $x = 3$)

b) $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}$ trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$

$f'(x) = \frac{{{x^2} + 4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Khi đó trên đoạn [1;5] không tồn tại x để f’(x) = 0.

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

$f\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} + 3.1 + 6}}{{1 + 2}} = \frac{{10}}{3};f\left( 5 \right) = \frac{{{5^2} + 3.5 + 6}}{{5 + 2}} = \frac{{46}}{7}$

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {1;5} \right]$ là $\frac{{10}}{3}$ (tại $x = 1$), và GTLN là $\frac{{46}}{7}$ (tại $x = 5$)

c) $f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$

So sánh giá trị hàm số:

$f\left( 0 \right) = \frac{{\ln \left( {0 + 1} \right)}}{{0 + 1}} = 0; f(e - 1) = \frac{1}{{e + 1}}; f\left( 3 \right) = \frac{{\ln \left( {3 + 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}$

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {0;3} \right]$ là 0 (tại $x = 0$), và GTLN là $\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{2}$ (tại $x = 3$)

d) $f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1$ trên đoạn $\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$

$f'(x) = 6\cos 3x + 7$. Khi đó trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ ta có f’(x) > 0, hàm số đồng biến

So sánh giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn:

$f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) + 1 = 3 - \frac{{7\pi }}{2}$

$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\sin \left( {3\left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right) + 7\left( {\frac{\pi }{2}} \right) + 1 =  - 1 + \frac{{7\pi }}{2}$

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn $\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ là $3 - \frac{{7\pi }}{2}$ (tại $x = \frac{{ - \pi }}{2}$), và GTLN là $- 1 + \frac{{7\pi }}{2}$ (tại $x = \frac{\pi }{2}$)