Giải bài tập 7 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N. a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau. b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.

a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.

b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

-  Đọc kĩ dữ liệu để vẽ hình.

-  Chứng minh ΔΔABM = ΔΔADN (g.c.g)

-  Hai tam giác vuông có cùng cạnh huyền thì tứ giác có đỉnh là các đỉnh của hai tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính là cạnh huyền.

-  Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN. Suy ra

OA = OC. Sau đó chứng minh B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC. Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét ΔΔABM và ΔΔADN ta có:

AB = AD

^ABM=^ADN(=90o)ˆABM=ˆADN(=90o)

^BAM=^NADˆBAM=ˆNAD(cùng phụ với ^DAMˆDAM)

Do đó ΔΔABM = ΔΔADN (g.c.g)

b) Ta có AM = AN (do ΔΔABM = ΔΔADN)

Suy ra ΔΔ AMN cân tại A

Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)

Nên AO cũng là đường cao suy ra AO NM tại O.

Tam giác ABM vuông tại B và tam giác AOM vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AM nên tứ giác ABMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Tam giác ADN vuông tại D và tam giác AON vuông tại O cùng nội tiếp đường tròn đường kính AN nên tứ giác AODN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AN.

c) Tam giác NAM vuông tại A (do góc xAy vuông) và tam giác NCM vuông tại C cùng nội tiếp đường tròn đường kính MN nên tứ giác AMCN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MN.

Điểm O là trung điểm của MN nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.

Suy ra OA = OC suy ra O thuộc đường trung trực của AC.

Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông) nên D và B thuộc đường trung trực của AC.

Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.

Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close