Giải bài tập 6 trang 74 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp;

b) Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\widehat {MDC} = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)

Xét tam giác ABC có (\widehat {BAC} = {90^o}\) nên là tam giác vuông tại A, do đó A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác BCD có $\widehat {BDC} = {90^o}$ nên là tam giác vuông tại D, do đó B, C, D thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Ta có $\widehat {MNC} = {90^o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC)

Xét tam giác MBC có AB $\bot$ MC, CD $\bot$ BM, MN $\bot$ BC.

Nên AB, MN, CD là ba đường cao của tam giác MBC

Vậy các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua điểm E.