Giải bài tập 4.41 trang 38 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc vào thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như Hình 4.30. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

A. $25,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}$

B. $24,25{\mkern 1mu} {\rm{km}}$

C. $24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}$

D. $26,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}$

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng đồ thị $v(t)$ có dạng một parabol với đỉnh $I(2;9)$, vậy phương trình của parabol có dạng:

$v(t) = a{(t - 2)^2} + 9$

Dựa vào điểm $(0,6)$ trên đồ thị (vận tốc tại thời điểm $t = 0$), ta thay vào phương trình để tìm $a$:

$6 = a{(0 - 2)^2} + 9$

$6 = 4a + 9 \Rightarrow 4a =  - 3 \Rightarrow a =  - \frac{3}{4}$

Vậy phương trình của vận tốc là:

$v(t) =  - \frac{3}{4}{(t - 2)^2} + 9$

Bây giờ, ta tính quãng đường $S$ bằng cách lấy tích phân:

$S = \int_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{{(t - 2)}^2} + 9} \right)} dt = \int_0^3  -  \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt + \int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt$

Tính tích phân của $9$:

$\int_0^3 9 {\mkern 1mu} dt = 9t|_0^3 = 9(3 - 0) = 27$

Tính tích phân của $- \frac{3}{4}{(t - 2)^2}$: Sử dụng biến đổi $u = t - 2$, tích phân trở thành:

$\int_0^3  -  \frac{3}{4}{(t - 2)^2}{\mkern 1mu} dt = \int_{ - 2}^1  -  \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du$

Tính tích phân của ${u^2}$:

$\int_{ - 2}^1  -  \frac{3}{4}{u^2}{\mkern 1mu} du =  - \frac{3}{4} \cdot \frac{{{u^3}}}{3}|_{ - 2}^1 =  - \frac{1}{4}\left( {{1^3} - {{( - 2)}^3}} \right) =  - \frac{1}{4}(1 + 8) =  - \frac{9}{4}$

Vậy quãng đường $S$ là:

$S = 27 - \frac{9}{4} = \frac{{108}}{4} - \frac{9}{4} = \frac{{99}}{4} = 24,75{\mkern 1mu} {\rm{km}}$

Chọn C.