Giải bài tập 4.1 trang 82 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính tỉ số lượng giác của các góc $\alpha$ và $\beta$ trong mỗi trường hợp ở Hình 4.13.

Lời giải chi tiết

Hình a: $\Delta$ADB vuông tại D nên $A{D^2} + D{B^2} = A{B^2}$ (Định lí Pythagore).

Suy ra: $A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64$.

Do đó, $AD = 8$.

Suy ra, $\sin \alpha  = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5}$, $\cos \alpha  = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$, $\tan \alpha  = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$, $\cot \alpha  = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

$\Delta$ADC vuông tại D nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {9^2} + 64 = 145$ (Định lí Pythagore). Do đó, $AC = \sqrt {145}$

Do đó, $\sin \beta  = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{8}{{\sqrt {145} }}$, $\cos \beta  = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{9}{{\sqrt {145} }}$, $\tan \beta  = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{8}{9}$, $\cot \beta  = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{9}{8}$.

Hình b:

$\Delta$ADC vuông tại D nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {7^2} + {20^2} = 449$ (Định lí Pythagore). Do đó, $AC = \sqrt {449}$.

Do đó, $\sin \beta  = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{20}}{{\sqrt {449} }}$, $\cos \beta  = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{7}{{\sqrt {449} }}$, $\tan \beta  = \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{20}}{7}$, $\cot \beta  = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{7}{{20}}$.

$\Delta$ADB vuông tại D nên $A{B^2} = A{D^2} + D{B^2} = {12^2} + {20^2} = 544$ (Định lí Pythagore). Do đó, $AB = 4\sqrt {34}$.

Do đó, $\sin \alpha  = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{20}}{{4\sqrt {34} }} = \frac{{5\sqrt {34} }}{{34}}$, $\cos \alpha  = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{12}}{{4\sqrt {34} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}$, $\tan \alpha  = \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{20}}{{12}} = \frac{5}{3}$, $\cot \alpha  = \frac{{DB}}{{AD}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}$.

Hình c: $\Delta$ABC vuông tại A nên $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lí Pythagore).

Do đó, $AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{13}^2} - {5^2}}  = 12$.

Suy ra, $\sin \alpha  = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}$, $\cos \alpha  = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$, $\tan \alpha  = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{{12}}$, $\cot \alpha  = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{5}$.

Vì $\alpha  + \beta  = {90^o}$ nên $\sin \beta  = \cos \alpha  = \frac{{12}}{{13}}$, $\cos \beta  = \sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$, $\tan \beta  = \cot \alpha  = \frac{{12}}{5}$, $\cot \beta  = \tan \alpha  = \frac{5}{{12}}$