Giải bài tập 3.15 trang 53 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho căn thức $\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Rút gọn căn thức đã cho với $x \ge 2.$

c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \ge 2,$ biểu thức $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }$ có giá trị không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}$.

Do ${\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$ với mọi x nên căn thức đã cho xác định với mọi giá trị của x.

b) Với $x \ge 2$ ta có:

$\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}  = \left| {x - 2} \right| = x - 2$

c) Ta có:

$\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }  = \sqrt {x - \left| {x - 2} \right|}  = \sqrt {x - \left( {x - 2} \right)}  = \sqrt 2$ là hằng số

Do đó với mọi $x \ge 2,$ biểu thức $\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }$có giá trị không đổi.